Hudební teorie - Harmonické vazby

→ Rumunský překlad této stránky (za podpory Web Geek Science)
Abstrakt

V příspěvku je předložen hudebně teoretický model vztahů mezi tóny v harmonickém proudu hudby.
Tónům pravidelné hudební soustavy jsou přiřazena energetická pásma. Pásma se vzájemně ovlivňují, vznikající vazby odčerpávají energie pásem.
Předpokládají se dva základní typy interakcí:

Z modelu jsou odvozovány některé charakteristiky souzvuků (základní tón, entropie, rodovost) i možná objasnění vybraných harmonických a melodických vztahů. Je definována tónina a navrženo odvození jejích harmonických funkcí.

Model je aplikován na 12-ti tónovou soustavu. Oktávová identita je základem tzv. formální soustavy. V této soustavě se největší spojitostí projevuje interval čisté kvinty. Nositelem největšího impulzu je půltón. Na příkladě dur a moll trojzvuku je vysvětlen pojem základního tónu, entropie a rodovosti souzvuku.
Připojeno je několik poznámek k analyze harmonie a melodie. Vyčíslena je spojitost sledu známého z barokní hudby. Modelu vztahů je využito pro generování harmonického proudu hudby.

Model sjednocuje Janečkovu teorii imaginárních tónů s Risingerovými principy funkčních vztahů.
Příspěvek by mohl zajímat hudební teoretiky i teoretiky přírodních věd - zabývající se formalizací hudebních struktur, vnímáním, teoriemi informančního kódování apod.

Obsah

1. Úvod

Naše práce vychází zvláště z děl českých a slovenských hudebních teoretiků - konkrétně z teorie souzvukových spojů Leoše Janáčka, [4], a teorie harmonických funkcí Otakara Šína, [10].

Některé užité pojmy jsou převzaty z fyziky. To ale neznamená, že popsané jevy mají jen fyzikální podstatu. Skutečnost je měřitelná: vztahy pozorované v hudebních skladbách vyjadřujeme numericky. Neřešíme podstatu jevů. Hodnoty parametrů v našem modelu, odvozeném z empirického materiálu, jsou "mlhavé" (fuzzy); otázka detailního matematického modelu ale zůstává otevřená.

Zaměřili jsme naši pozornost k harmonii. Postavení harmonie je v jistém smyslu vyjímečné. Harmonie je prvkem hudebního výrazu a zároveň je také něčím obecnějším, něčím, co váže jiné prvky [12]. Analýza harmonie je často úspěšnější, [7], než např. analýza melodie. Působení harmonických jevů může být snadno určeno v tonálním kontextu [3]. Tonalita je vždy vytvořena z jisté modality, [13], a modality vznikají v harmonických (hudebních) soustavách. V západních kulturách převládá hudba komponovaná v 12-ti tónové soustavě, ale jiné kulturní oblasti užívají jiné systémy; teorie nejen potvrzují tyto systémy, [8], ale předpovídají také systémy budounosti. Vytvořili jsme teorii nezávislou na hudebním systému. Náš model byl navržen pro systémy dělící oktávový interval na stejný počet dílků; výsledný model je proto jednoduchý a snadno algoritmizovatelný.

2. Model

Návrh obecného modelu vztahů mezi tóny v harmonickém proudu hudby.

2.1 Harmonická soustava

Harmonická soustava je dána relací na množině všech tónů. Často jsou výšky tónů uspořádány v aritmetickou posloupnost, tj. výškám odpovídající frekvence (podle Weber-Fechnerova zákona) tvoří posloupnost geometrickou. V takovém případě mluvíme o pravidelné hudební soustavě.
více o hudebních systémech

Rozdíl dvou výšek nazýváme hudební interval. Jednotkový interval odpovídá jednomu dílku pravidelné soustavy.

Interakce

Nechť energetické pásmo je nositelem energie příslušející dané frekvenci. Tato energie nezaniká současně s dozněním tónu (uvažujeme také psycho-akustické jevy), zůstává v pásmu, dokud není odčerpána vnějšími silami.
Předpokládáme tyto vnější síly:

Interakce závisí zvláště na rozměru hudebního intervalu .
Nechť harmonická vazba je nositel energie příslušející danému hudebnímu intervalu. Vazba (r12) potřebuje ke své existenci energii, jíž nemůže čerpat odjinud, než právě z pásem (p1,p2). Potenciální energie pásem se mění ve vazebnou kinetickou energii. Spotřeba energie ve vazbě závisí na kvalitě vazby, tj. především na velikosti hudebního intervalu.

Předpokládáme, že dochází ke dvěma základním dějům:

Spojitost:
m_mcont.jpg 1.Rezonance mezi pásmy, jimž odpovídající frekvence jsou v poměru malých celých čísel (přibližně).
Jedno z pásem získává část potenciální energie pásma druhého. Předávanou energii nazýváme spojitost vazby.
Impulz:
m_mimpls 2.Reaktivnost mezi poli nejbližších pásem.
Energie pásem odčerpává síla podobná Newtonově či Coulombově síle.
Kinetickou energii, která se vybíjí interakcí pásem nazýváme impulz vazby .

Zvláštním případem je rezonanční poměr 2:1 (oktávová identita). Sahá k samému základu hudebních soustav; tóny s frekvencemi v poměru 2:1 jsou vnímány obdobně.
Nazývejme formální soustavou (F-soustavou) takovou idealizaci hudební soustavy, která tóny s frekvencemi v poměru 2:1 ztotožňuje. Pravidelná soustava se nám tak rozpadne do bloků s konstantním počtem dílků k. Tento počet nazýváme řád soustavy. Řád je mírou rozmanitosti soustavy, čím je vyšší, tím bohatší ale i jemnější a komplikovanější jsou vztahy mezi energetickými pásmy.
Každý tón pravidelné hudební soustavy má svého reprezentanta v soustavě formální a naopak každý reprezentant zastupuje třídu ekvivalentních tónů. Ve formální soustavě má smysl uvažovat jen tzv. formální intervaly, tj. intervaly jejichž velikost nepřevyšuje řád soustavy. Nejmenší reaktivnost vzniká mezi pásmy v intervalu mediánu soustavy, m = k div 2, kde k je řád soustavy.
více o hudební energii

2.2 Tónina

Tónina

Formální soustava byla první idealizace, kterou jsme zavedli. Další idealizací, jíž omezíme varietu možných vztahů mezi tóny, je modalita.
m_modal Modalita je podmnožina tónů F-soustavy.
více o tónině

Z k-pásem formální soustavy vybereme jen p takových, která mají energie přímo od tónů (primary, P- pásma). Ostatní, vedlejší pásma (secondary, S-pásma) získají energii prostřednictvím vazeb. Vazby mezi pásmy P-P, P-S (S-P), S-S mají různý význam, nejdůležitější jsou pro nás vazby P-P.
Probíhá-li hudební fráze v jisté modalitě, zůstanou některá pásma po celou dobu bez příjmu energie, v důsledku přerozdělování energií však nikoli prázdná. Za předpokladu, že příjem energií do P-pásem je vyrovnaný, můžeme jen ze struktury modality odvodit některé charakteristiky.

Formální potenciál (F-potenciál) pásma je součtem vlivů jiných pásem (zejména P- pásem) na pásmo dané. Tyto vlivy nazýváme vazebná ovlivnění (B-ovlivnění). Kromě dílčích vlivů očekáváme u interakcí více než dvou pásem také vliv celkové entropie. Lépe uspořádaná uskupení tónů (konsonance) ztrácí méně energie.

Tónina je modalita, s jistými omezujícími podmínkami na možná uskupení. Množina všech uskupení tóniny je harmonická varieta (tóniny). Každé uskupení získává své specifické vlastnosti podle umístění v tónině. Formální potenciál uskupení je dán součtem formálních potenciálů zůčastněných pásem. Tóničnost uskupení je formální potenciál snížený o entropii znění.

Harmonické funkce

Harmonické funkce jsou uskupení z harmonické variety s určitými extrémními vlastnostmi:

více o harmonických funkcích

Modulace je každá změna modality, příbuzné modality jsou takové, které mají obdobné rozložení formálních potenciálů.

2.3 Harmonie a melodie

Věnujme se dále harmonickým vazbám. Podle průběhu v čase rozlišujeme dvě třídy vazeb:

Vše co dokážeme odvodit jen a pouze z vazeb vertikálních řadíme do harmonické statiky, ostatní je předmětem harmonické kinetiky.

2.3.1 Harmonická statika

V harmonické statice pozorujeme uskupení tónů izolovaně - nezávisle na harmonickém kontextu.m_htriv.jpg
Základní tón daného uskupení je tón, jemuž odpovídá pásmo s největší základností, tj. skutečnou energií pásma. (Tato energie nezávisí na modalitě a jejích formálních potenciálech.)

Míra neuspořádanosti, entropie uskupení (disonantnost) závisí na rozložení energie mezi pásmy. Nejmenší je u souzvuků se základním tónem a největší při vyrovnané základnosti všech tónů.

U nejlépe uspořádaných uskupení pozorujeme ještě tzv. rodovost . Dva póly rodovosti odpovídají dvěma typům uspořádání; uspořádání s význačným maximem odpovídá kladný rod, uspořádání s význačným minimem rod záporný.

více o harmonické statice

2.3.2 Harmonická kinetika

Harmonický spoj vzniká uvedením dvou tónových uskupení bezprostředně za sebou.
Rozložení potenciálů v tónině určuje jisté hladiny pro jednotlivé souzvuky. Důsledkem přechodu mezi hladinami je napětí. (Kontrasty napětí a uvolnění vznikají také v důsledku rozdílných entropií uskupení, [10].

Harmonickou tendenci souzvuku (harmonický spád) podmiňuje především umístění souzvuku v tónině; ta není napětím (entropií) uvnitř souzvuku ovlivněna.

m_harcon.jpg
Harmonické spoje působí obdobně, odpovídají-li si (kvalitou i kvantitou) jednotlivé vazby. Mírou návaznosti dvou uskupení je celková hodnota spojitosti resp. impulzu na vazbách.

Podle směru působení spojitosti rozlišujeme harmonický proud přímý (tzn. kladnou spojitost ke každému dalšímu uskupení) a harmonický proud reverzní (záporná spojitost).



S vývojem hudby dochází k obohacování známých uskupení o nové tóny, dříve považované za neakordické, [2]. S tímto obohacováním sice vzrůstá počet možných harmonických spojů, ale naopak klesá varieta možných extrémně rozdílných hladin potenciálů uskupení, [1]. Z toho důvodu se domníváme, že musí být každá pravidelná soustava jednou vyčerpána a nahrazena soustavou vyššího řádu.

2.3.3 Melodie

Sledujme nyní vedení jedné melodie. Energie v pásmu přetrvává dokud nezazní tón v pásmu těsně sousedícím. Rychle probíhající sled vzájemně se nerušících tónů působí harmonicky, zatímco sled tónů interagujících si zachovává svůj melodický charakter. Proto působí tak odlišně dva zdánlivě podobné útvary jako je tremolo (se svým harmonickým charakterem) a trylek ( s charakterem melodickým).


Trylek: (tóny c-d se navzájem ruší)


Tremolo: (tóny c-e rezonují)

U každé jednotlivé melodie můžeme sledovat body v nichž vstupuje do pásem harmonicky obsazených či naopak volných. Podle toho bývají odlišovány tzv. akordické a neakordické tóny. Poměr nutného trvání akordických tónů k celkové délce harmonie nazýváme harmonické krytí.

Definujeme harmonickou mocnost jako (v čase integrovanou) energii v pásmech. Odtud harmonická mocnost melodie s výraznou spojitostí je vysoká (např. Albertiho bas), zatímco harmonická mocnost melodie s výrazným impulzem je nízká (např. stupnice).
Harmonická kostra melodie je množina tónů, které nejvíce přispívají k harmonické mocnosti.
více o harmonické kinetice

3. Konkretizace

Přiblížení navrženého modelu na příkladu 12-ti tónové hudební soustavy.

3.1 Harmonická soustava

Pravidelná 12-ti tónová soustava, [8], je nejrozšířenější soustavou západních kultur. Členění bloku vymezeného pásmy v rezonanci 2:1 na dvanáct dílků je výhodné, protože umožňuje s relativně velkou přesností aproximovat další jednoduché poměry frekvencí: 3:2 sedmi a 5:4 čtyřmi dílky. Jednotkový intervalem, dílkem soustavy je půltón. Řádu soustavy 12 odpovídá interval oktávy, medián je tvořen vzdáleností 6, tj.tzv. tritonus.

Vazby odpovídající intervalům formální soustavy ohodnoťme parametrem spojitosti a impulzu. Bez znalosti podstaty interakcí mezi pásmy není možné odvodit přesné hodnoty. Jediným zdrojem jsou známé základní tóny, [9], a různé míry konsonance , [6], [9], vybraných souzvuků. Také připojené hodnoty parametru vazebného potenciálu jsou přibližné. Byly odvozeny podle známých harmonických funkcí, [3], vybraných tónin, viz Tabulka 1. (Předpokládáme, že jsou funkcí impulzů a spojitostí vazeb).

Intervalové charakteristiky

Tabulka 1: Intervalové charakteristiky

Interval -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Spojitost -4 +2 0 0 0 0 0 0 0 -2 +4 0
Impulz 0 0 +1 +3 +12 0 +12 +3 +1 0 0 0
B-ovlivnění +4 +2 -1 -1 -2 0 -2 -1 -1 +2 +4 0

Souřadná soustava - spojitost na vodorovné ose, impulz na svislé ose.


Největší impulz

m_impuls.jpg

Největší impulz, I, je předpokládán postupně u intervalu půltónu im(1)= +12, celého tónu im(2)= +3 a malé tercie im(3) =+1.
Působení impulzu nezávisí na směru vazby, tedy impulz je vždy kladný.

Největší spojitost

m_contin.jpg

Největší spojitost je uvažována u intervalů čisté kvinty (rezonance 3:2) a velké tercie(5:4).
Interval čisté kvarty (4:3) a malé sexty(8:5) je přitom od uvedených intervalů (vzhledem k oktávová identitě) nerozlišitelný.
Spojitost záleží na směru působení. Sestupná kvinta sp(-7)= sp(+5)=+4 má kladnou spojitost. Stejně tak i sestupná velká tercie sp(-4)=sp(+8)=+2.

Impulzy a spojitosti ostatních intervalů zanedbáváme.
Maximální impulz i maximální spojitost konvergují v totožnost.

3.2 Tónina

Z hodnot parametrů definovaných v předchozím odstavci budeme odvozovat hodnoty některých obecnějších charakteristik. Všimněme si nejprve vazeb v přirozené modalitě (c, d, e, f, g, a, h) a vyhledejme intervaly s největší spojitostí, viz Tabulka 2.

Tabulka 2: Intervaly v přirozené modalitě

- c d e f g a h
c 0 +2 +4 +5 -5 -3 -1
d -2 0 +2 +3 +5 -5 -3
e -4 -2 0 +1 +3 +5 -5
f -5 -3 -1 0 +2 +4 +6
g +5 -5 -3 -2 0 +2 +4
a +3 +5 -5 -4 -2 0 +2
h +1 +3 +5 +6 -4 -2 0

Např. pro tón f najdeme 1 kvintu (fc) a 1 v.tercii (fa), viz Tabulka 3.

Tabulka 3: Intervaly spojitosti

- c d e f g a h
Kvinty 2 2 2 1 2 2 1
Velké tercie 1 0 1 1 1 1 1

Nejsilnější spojitostí jsou spojeny s ostatními tóny c, e, g, a (2 kvinty +1 v.tercie). Domníváme se, že tónikou v přirozené tónině bude uspořádané uskupení složené z těchto tónů. Z praktické hudby jsou známa dvě taková uskupení:

V novější hudbě se objevuje jako tónika i celý čtyřzvuk cega.

Formální potenciál

m_potent.jpg
Podle vazebných ovlivnění vyčíslíme formální
potenciály jednotlivých pásem
(celkový formální potenciál v posledním sloupci
Tabulky 4 je součtem dílčích B-ovlivnění v řádce).

Tabulka 4: Ovlivnění pásem

- c d e f g a h ∑
c 0 -1 +2 +4 +4 -1 -2 +6
d -1 0 -1 -1 +4 +4 -1 +4
e +2 -1 0 -2 -1 +4 +4 +6
f +4 -1 -2 0 -1 +2 -2 0
g +4 -1 -1 -1 0 -1 +2 +7
a -1 +4 +4 +2 -1 0 -1 +7
b -2 -1 +4 -2 +2 -1 0 0


m_pdiag.jpg
Vidíme v podstatě týž výsledek,
který jsme odvodili výše,
tj. tóny c, e, g, a mají
nejvyšší formální potenciál.
Budeme-li uvažovat i spolupůsobení vedlejších pásem (vazby PS) získáme hodnoty: g,a: 7; c,e:6; d:4; f,h:0; f#,a#:-2; g#, d#, c#:-4.

Vybraným uskupením přirozené modality odpovídají následující formální potenciály: P( C) = P(Ami) = 6.33; P( Emi) = P( F) = 4.33; P( Dmi) = P(G) = 3.67; P( Hmi5-) = 1.33. Hodnoty jsou určeny na jeden tón, např. pro C: P(C)=(c, e, g) = [P(c)+ P(e)+ P(g)]/3 = (6+6+7)/3 = 6.33.
více o hudebních potenciálech

Spojitost směrem k tónice

Obdobně určíme u vybraných uskupení hodnoty spojitosti k tónice. V tomto případě sčítáním spojitostí jednotlivých vazeb, viz Tabulka 5. Všimněme si extrémních hodnot spojitosti dominant (+1.56) a subdominant (-1.56) vzhledem k oběma tónikám.

Tabulka 5: Spojitost směrem k tónice

Dmi Emi F G Hmi5- k
-0.44 +1.33 -1.56 +1.56 +0.67 C
-1.56 +1.56 -1.33 +0.44 -0.67 Ami
Vybrané harmonické spoje

Dopočítáme ještě hodnoty spojitosti a impulzu některých vybraných spojů, viz Tabulka 6.

Tabulka 6: Vybrané harmonické spoje

Harmonický spoj Spojitost Impulz
EmiAmi, GC, CF +1.56 2.11
EmiC, AmiF +1.33 1.56
EmiF +1.11 3.67
Hmi5-Emi, FHmi5- +1.11 2.11
DmiG +0.89 1.22
CAmi, FDmi +0.89 0.56
Hmi5-C, AmiHmi5- +0.67 3.67
GAmi, CDmi +0.44 2.78
DmiEmi, FG 0.00 2.78
AmiAmi, CC 0.00 0.22
AmiEmi, CG, FC -1.56 2.11

3.3 Harmonie a melodie

3.3.1 Harmonická statika

Zaměřme se na vazby spojitosti v trojzvuku dur, moll a zvětšeném trojzvuku, [6].

Dur a moll trojzvuk

m_polar.jpg

Ve sloupci E zapíšeme celkovou hodnotu spojitosti (základnost), viz Tabulka 7.

Tabulka 7: Trojzvuk dur a moll

- c e g E - a c e E
g -4 0 0 -4 e -4 -2 0 -6
e -2 0 0 -2 c 0 0 2 +2
c 0 2 4 +6 a 0 0 4 +4

Základní je takový tón, který co nejvíce energie přijme a zároveň co nejméně odevzdá. Oba souzvuky mají základní tón c, [9], který je v případě dur trojzvuku (E=+6) poněkud výraznější než v případě moll (E=+4). Trojzvuk dur má extrémní hodnotu základnosti kladnou (E=+6) zatímco trujzvuk moll zápornou (E=-6). Mluvíme o uspořádanosti maxima a minima. Tuto uspořádanost nazýváme rodovost. Domníváme se, že jasnost dur tkví v extrémně vysoké základnosti tónu c, zatímco zastřennost moll v extrémně nízké základnosti tónu g, přičemž entropie (disonance) obou útvarů je přibližně táž.

Zvětšený trojzvuk

V teoretické literatuře najdeme pokusy vysvětlit nedokonalost konsonance zvětšeného trojzvuku ceg#, [6], viz Tabulka 8.
m_augment.jpg

- c e g# E
g# 0 +2 -2 0
e -2 0 +2 0
c +2 -2 0 0

Základnosti tohoto trojzvuku jsou vyrovnané. Vyšší entropie by mohla být příčinou nedokonalé konsonance zvětšeného souzvuku.

3.3.2 Harmonická kinetika

Při analyze skladby je nutné v každém okamžiku určit stávající tóninu a vznikající relace posuzovat v jejím kontextu. Tóninu přitom určují jen a pouze ta pásma, která získávají energii od tónů.

Určení tóniny je obtížné zejména u jednohlasých písní. Zní-li v písni např. jen tóny c,d,e,f,g nemůžeme předem předpokládat, že je z tóniny [c, d, e, f, g, a, h] stejně dobře by mohla být např.z tóniny [c, c#, d, e, f, g, g#]; v níž panují vztahy docela jiné. Přitom ale nesmíme zapomínat na skutečnost, že některé písně byly zpívány dvojhlasně, a my známe jen hlas jediný. Druhý hlas mohl v našem příkladě tóny a, h, c pokrývat a naše původní určení tóniny bylo správné.

Úvahy o pevně daných modalitách a uskupeních jsou však idealizace. Ve skutečnosti existuje předivo hlasů, které tyto útvary tvoří dynamicky.
Pokud se např. v závěru C-dur tóniny místo sledu Dmi:G:C objeví Db:G:C (tzv. neapolský sextakord Db),[5], nemůžeme již tvrdit, že jsme stále v C-dur.
Tónina právě zmodulovala do tóniny [c, c#, d, e, f, g, g#, h].
Mimotonální tóny bývají tolerovány zejména tehdy, pokud jejich energie záhy zaniknou v důsledku reaktivnosti pásem. Tak je tomu právě v případě neapolského sextakordu; energie v pásmech c#,g# jsou zrušeny nástupem tónů dominanty d,g.

3.3.3 Melodie

Začátek Mozartova Tureckého pochodu má jednoduchý harmonický skelet - mollový trojzvuk a,c,e. Jiné tóny (g#,h,d,f) jsou v daném kontextu pouze ozdoby melodického charakteru.

4. Aplikace modelu

Hudební slohy

Každý hudební sloh má pevné hranice pro hodnoty jistých charakteristik. Spoje, které z těchto hranic vybočují jsou považovány za neobvyklé nebo jsou přímo slohovými pravidly zakázány. Omezením přitom nemusí podléhat jen celý harmonický spoj, ale i každá jeho podmnožina; např. zákaz paralelních kvint a oktáv v klasické harmonii. Některá z pravidel nutí zase dílčí jevy podřizovat se zákonům celku. Např. pravidla pro přísné vedení hlasů v klasické harmonii dovolují jen takový pohyb hlasů, kdy celková změna výšek všech hlasů je minimální.

Některé hudební styly mají své obvyklé harmonické postupy. Povšimněme si dvou z nich. V barokní hudbě najdeme často sled C:F:Hmi5-:Emi:Ami:Dmi:G:C, [2]. Spojitosti mezi jednotlivými konsonantními souzvuky, viz Tabulka 6.
Ve všech dílčích spojích najdeme prakticky největší hodnoty spojitosti (1.56, 1.11, 0.89) mezi konsonantními trojzvuky durové tóniny.
Druhým typickým postupem jsou jazzové sekvence, [11]. Normální jazzová sekvence (např. Ami7:D7:Gmi7:C7) připomíná průběhem spojitosti sekvenci barokní. Chromatická jazzová sekvence (např. E7:D7:C7:H7) se vyznačuje oproti tomu extrémním impulzem všech dílčích spojů.

4.2 Algoritmická kompozice

V této části nastíníme algoritmus pro generování harmonického proudu tonální hudby.

Nejprve se zaměřme na harmonii:

Dále vedení hlasů:

Závěr

Teorie harmonických vazeb byla představena v sekci "Fuzzy principles in music" na Seventh IFSA World Congress, Prague, June 25-29, 1997 (International Fuzzy Systems Association).
Zde uvedený text pokrývá a rozšiřuje text otištěný ve sborníku konference.
Stručný výtah byl publikován v Proceedings of the International Seminar Mathematics and Music, Bratislava, 1997

Materiály potřebné k vývoji této teorie jsem studoval v letech 1985-1988, základy teorie vznikly r.1989.

Literatura

[1.] Faltin Peter: Funkcia zvuku v hudobnej štruktúre (Sound Function in the Music Structure; in Slovak), Bratislava 1966.

[2.] Filip Miroslav: Vývinove zakonitosti klasickej harmónie (Evolutional Laws in the Classical Harmonie; in Slovak), Bratislava 1965

[3.] Hradecký Emil: Úvod do studia tonální harmonie (Introduction to the Study of Tonal Harmonie; in Czech), Prague 1972.

[4.] Janáček Leoš:Úplná nauka o harmonii (Complete Theory of Harmonie; in Czech), Brno 1920.

[5.] Janeček Karel:Skladatelská práce v oblasti klasické harmonie (Practical Musical Composition in the Classical Harmonie; in Czech), Prague 1973.

[6.] Janeček Karel:Základy moderní harmonie (Fundamentals of Modern Harmonie; in Czech), Prague 1965.

[7.] Ludvová Jitka: Matematické metody v hudební analyze (Mathematical Methods in the Musical Analysis; in Czech), Prague 1975.

[8.] Risinger Karel: Intervalový mikrokosmos (Microcosmos of Intervals; in Czech), Prague 1971.

[9.] Risinger Karel: Hierarchie hudebních celků (Hierarchy of Musical Units; in Czech), Prague 1969.

[10.] Sín Otakar: Úplná nauka o harmonii na základě melodie a rytmu (Complete Theory of Harmonie based on Melody and Rythm; in Czech), Prague 1943.

[11.] Velebný Karel: Jazzová praktika 1 (Jazz Practical Courses 1; in Czech), Prague 1983

[12.] Volek Jaroslav: Novodobé harmonické systemy (Modern Harmonic Systems; in Czech), Prague 1961

[13.] Volek Jaroslav: Struktura a osobnosti hudby (Structure and Personalities of the Music; in Czech), Prague 1988