Schematická algebra - Úvod
Moreau, Charles
| Moreau, Charles Paul Narcisse, 1837-1916 francouzský voják a matematik. Zabýval se kombinatorickými problémy (věže na šachovnici) a hrami. Zavedl funkci pro vyčíslení počtu kombinací náhrdelníků. |
Kombinatorika náhrdelníků
Většina souzvuků (akordů) 12-ti tónové soustavy má 12 transpozic. Ne ale všechny. Některé mají transpozic méně (například trojzvuk C5+ čtyři transpozice, čtyřzvuk Cdim tři transpozice...) Výsledný obecný kombinatorický problém se tímto liší od ostatních běžně studovaných případů a bývá zahrnut pod pojmenování "Kombinatorika náhrdelníků".
Počet kombinací náhrdelníků vyčíslil jako první pravděpodobně Charles Moreau (r.1872). K vyjádření využil Mobiovu funkci (funkce počítání náhrdelníků, náhrdelníkový polynom).
Později - v r.1937 publikoval maďarský matematik George Pólya obecnou teorii, která umožňuje počítat různá uspořádání (symetrie apod.). Znovuo a nezávisle tak objevil teorii, se kterou přišel již o deset let dříve americký matematik John Howard Redfield. Teorie je známa pod Polyovým jménem a k vyčíslení využívá Eulerovu funkci.
Struktury je však možné počítat také jednodušeji - bez použití Mobiovy či Eulerovy funkce. Pokud definujeme řád systému "k" jako počet prvků (korálů na náhrdelníku...), je jen potřebné doplnit do kombinatoriky řádu "k" i všechny podřízené řády "d", které číslo "k" dělí. Takové doplnění se zdá být přirozené a přehledné a ukazuje na krásu matematických struktur. Z číselných formací (které nazýváme G-systémy) je na první pohled (bez dlouhých důkazů) patrná řada známých vztahů (Fermatova, Wilsonova, Lerchova věta apod.)
Přitom je možné druhy nejen počítat ale zároveň i konstruovat - algoritmem podobným Eratostenovu sítu. Místo násobků prvočísel zde zastoupí rotace (tj. násobení číslem "n" podle určeného modulu "r").
Lyndon, Roger
| Lyndon, Roger Conant, 1917-1988 americký matematik. Zabýval se logikou, kombinatorikou, teorií grup a geometrií. |
Lyndonova slova
V teorii G-systémů používáme pojem instance (jakékoliv uskupení) a pojem druh (zahrnuje všechny rotace). Reprezentantem druhu je g-číslo, to je první (nejnižší) číslo druhu (v pořadí generování). V matematice se pro g-číslo vžil pojem Lyndonovo slovo. To je definováno jako: "neprázdný řetězec, který je v lexikografickém pořadí striktně menší než všechny jeho rotace" a odpovídá tak prakticky přesně tomu, čemu dále říkáme g-číslo.
Golomb, Solomon
| Golomb, Solomon Wolf, 1932-2016 americký matematik. Zabýval se kombinatorikou, teorií čísel a aplikovanou matematikou (kódováním, šifrováním, matematickými hrami apod.). |
Odvození prostých polynomů
Celkové počty vlastních druhů (tj. druhů, které nebyly vnořeny) odpovídají počtům prostých polynomů, jak je odvodil Gauss…! Jak prosté polynomy z vlastních druhů (Lyndonových slov) odvodit není na první pohled zřejmé (koeficienty polynomů ničím nepřipomínají příslušná čísla vlastních druhů...)
Řešení již ale existují. Pravděpodobně vychází z prací S.W.Golomba (Irreducible polynomials, synchronization codes, primitive necklaces, and the cyclotomicalgebra, 1969).
Bshouty, Nader| Bshouty, Nader H., izraelský matematik. Pracuje na poli teorie učení, algoritmech enumerace Lyndonových slov. Věnoval se také teoriím Galoisových rozšíření. |
Mezi novějšími publikacemi je možné najít práce N.H.Bshouty (Enumerating all the Irreducible Polynomials over Finite Field, 2016).
Polynomy musí být dopočítány násobením výrazů tvaru (x-a)...
Vlastní druhy
Počty druhů hudebních struktur o daném počtu tónů "L" pro jednotlivé řády "k" určuje "trojúhelník „vlastních druhů“. Tvoří jakoby jádro Pascalova trojúhelníka. Na jeho diagonálách jsou posloupnosti, jejichž vytvořující funkce popsal H. Kociemba v souvislosti s Rubikovou kostkou. V těchto vytvořujících funkcích můžeme pozorovat také jisté "vnořování" (z nižších řádů) - tak jako v celých G-systémech.
Jednou ze dvou hlavních posloupností na „páteři“ trojúhelníka je Katalánova posloupnost (druhou posloupností je pravděpodobně jakýsi její doplněk...!?).
V číslech na jednotlivých řádcích se ukazuje zajímavá vlastnost - možnost jejich nulování. Tak jako je Pascalův trojúhelník možné nulovat násobením jednotlivých členů v řádcích posloupností {1,−1,1,−1,...}, tak je možné trojúhelník vlastních druhů nulovat posloupností {1,−1,0,1,−1,0,...}!?
Čísla na řádcích tak můžeme rozdělit do tří skupin. Každý člen v určitém řádku je členem nějaké Kociembovy posloupnosti. Vysčítat obecně tyto členy (posunutých diagonálních posloupností) pro každou ze tří uvedených skupin se nezdá být úplně triviální ...
Ale je tu ale ještě jedna věc. Když rozdělíme členy v řádcích podle pořadí modulo 3 (tak jak probíhá nulování pomocí {1,−1,0}), dostaneme součty A0, A1, A2, přičemž víme, že A0=A1. Kolik je ale A2 a o kolik se liší 3*A0=3*A1 od A1+A2+A3? Hodnoty A0=A1 tvoří posloupnost P1: 0, 1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 33, 62, 112, 210, 387, 728, 1360, ... t.j. OEIS:A165920. Hodnoty A1+A2+A3 posloupnost P2: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161, 2182, 4080 t.j. OEIS:A001037. Přitom nenulové rozdíly 3*P1 - P2 formují opět posloupnost 0, 1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 33, 62, ... t.j. OEIS:A165920 ! Jinými slovy - posloupnost P2 je trojnásobkem P1 poníženým o posloupnost, jejíž každý třetí člen je prvkem P1 (a ostatní členy jsou nulové).
Návazné úvahy
Podobně jako se konstruují druhy hudebních struktur je možné konstruovat i druhy v jiných číselných systémech, např. těch které studoval Mersenne, Fermat, Kummer, nebo Wieferich. Zde záleží jen na modulu "r", podle kterého je systém čísel (R-systém) vystavěn. V obecnosti se těmito systémy zabýval již Gauss - který ukázal, jak se takové systémy vnořují a jak je možné jejich počty druhů přesně spočítat.