Pro k=0..5 jsou charakteristikami mocninných posloupností: • k=0: [1] • k=1: [1,0] • k=2: [2,1,0] • k=3: [6,6,1,0] • k=4: [24,36,14,1,0] • k=5: [120,240,150,30,1,0]
V mocninných posloupnostech {f(t)} =tk je
c(k)=k! a pro k>0 je c(1)=1 a c(0)=0.
Pro c(2) najdeme (0+1)∙2=2, (2+1)∙2=6, (6+1)∙2=14, (14+1)∙2=30,
tj. koeficienty c(2) tvoří posloupnost definovanou rekurentně
f(k+1)=(f(k)+1)∙2.
Obecně platí:
r(m) =
![]() ![]() ![]() ![]() |
Když m>k je c(m)=0.
Např. pro k=4, m=0..4:
r(0)=
∙04=0
r(1)=
∙14−
∙04=1−0=1
r(2)=
∙24−
∙14+
∙04=16−2+0=14
r(3)=
∙34−
∙24+
∙14−
∙04=81−48+3−0=36
r(4)=
∙44−
∙34+
∙24−
∙14+
∙04=256−324+96−4+0=24
─────────────────────────────────────────────
Pro m=5 je:
r(5)=
∙54−
∙44+
∙34−
∙24+
∙14−
∙04
=625−1280+810−160+5−0= 0
Protože při m=k je r(k)=k!, tak r(k)=∑
∙(t−k)k = k!
Na jednoduchém příkladě posloupnosti 2.řádu
zkontrolujeme, že v mocninné posloupnosti [2,1,0] odpovídá
indexům (a,b,c) F-součet a²+b²=c².
Transformací z [0,0,0] do [2,1,r0] dostaneme:
r0 = 2∙(
) +
1∙(
)
= 2∙t(c−1)/2−2∙s(b−1)/2−2∙r(a−1)/2 + 1∙(c−b−a) = c²−b²−a²
V případě r0=0 je tedy a²+b²=c².
Obdobně v posloupnosti 3.řádu transformací z [0,0,0,0]
do [6,6,1,r0] je:
r0 =6∙(
)
+ 6∙(
)
+ 1∙(
).
Pro c je 6∙t(c−1)(c−2)/6 + 6∙t(c−1)/2 + 1∙(c) =
c³−3l²+2l + 3l²−3l+c = c³.
Proto když r0=0, je a³+b³=c³.
Posun řádu 0: F-součet f(a)+f(b)=f(c) s
F-indexy (a,b,c) existuje v mocninné posloupnosti posunuté o
v, tj. {f(n)} = {nk+v}, tehdy, když v =
ck−bk−ak.
Např. pro k=2 a indexy (1,2,3) dostáváme
v=3²−2²−1² = 9−4−1=4.
F-součet s indexy (1,2,3) se proto vyskytuje v posloupnosti s
charakteristikou [2,1,4]:
Charakter. Posloupnost F-indexy F-součet ────────────────────────────────────────────────────────── [2,1,0] {0,1,4,9,16,25,36,49,... } (3,4,5) 9+16=25 [2,1,1] {1,2,5,10,17,26,37,50,...} (4,8,9) 17+65=82 [2,1,2] {2,3,6,11,18,27,38,51,...} (3,5,6) 11+27=38 [2,1,3] {3,4,7,12,19,28,39,52,...} (0,1,2) 3+4=7 [2,1,4] {4,5,8,13,20,29,40,53,...} (1,2,3) 5+8=13 [2,1,5] {5,6,9,14,21,30,41,54,...} (0,2,3) 5+9=14
Posun řádu 1: F-součet f(a)+f(b)=f(c) s F-indexy (a,b,c) existuje v posloupnosti posunuté o v∙n, tj. {f(n)} = {nk+v∙n}, tehdy, když:
Pro k=3 a indexy (2,3,4) dostáváme v= 4³−3³−2³ = 64−27−8 = 29. F-součet s indexy (2,3,4) se proto vyskytuje v posloupnosti s charakteristikou [6,6,30,0]:
n 0 1 2 3 4 5 6 ──────────────────────────────────────── [6,6,1,0] 0 1 8 27 64 125 216 29∙n 0 29 58 87 116 145 174 ──────────────────────────────────────── [6,6,30,0] 0 30 66 114 180 270 390 66+114 = 180
Zobecnění:
Uvažujme posloupnost, která vznikne tak, že se její m-tá
diferenční posloupnost posune o hodnotu v. V nové
posloupnosti jsou pak vzhledem k posloupnosti původní všechny
členy posunuté o v∙
, tj.
{f(n)}={nk+v∙
}.
V této nové posloupnosti existuje F-součet f(a)+f(b)=f(c) s indexy (a,b,c) tehdy, když:
![]() |
Posloupnost třetích mocnin má charakteristiku [6,6,1,0]. Podívejme se nyní jaké musí být posloupnosti s charakteristikou [h,h,1,r], aby měly F-součet s indexy (a,b,c).
Pro hodnotu r dostáváme výraz:
Pro h = 6 druhý sčítanec odpadá a výraz se redukuje na r = c3-b3- a3. Skutečně existuje celá řada posloupností, které mají indexy (a,b,c) a charakteristiku [6,6,1,r]. Ale není mezi nimi ta s r=0, tj. charakteristikou [6,6,1,0].
Charakter. F-indexy F-součet Posloupnost ────────────────────────────────────────────────────────── [6,6,1,7] (0,1,2) 7+8=15 {7,8,15,34,71,132,223,350,519,...} [6,6,1,26] (0,1,3) 26+27=53 {26,27,34,53,90,151,242,369,538,...} [6,6,1,63] (0,1,4) 63+64=127 {63,64,71,90,127,188,279,406,575,...} [6,6,1,124] (0,1,5) 124+125=249 {124,125,132,151,188,249,340,467,636,...} [6,6,1,215] (0,1,6) 215+216=431 {215,216,223,242,279,340,431,558,727,...} [6,6,1,342] (0,1,7) 342+343=685 {342,343,350,369,406,467,558,685,854,...} [6,6,1,511] (0,1,8) 511+512=1023 {511,512,519,538,575,636,727,854,1023,...} [6,6,1,728] (0,1,9) 728+729=1457 {728,729,736,755,792,853,944,1071,1240,...} [6,6,1,19] (0,2,3) 19+27=46 {19,20,27,46,83,144,235,362,531,748,1019,...} [6,6,1,56] (0,2,4) 56+64=120 {56,57,64,83,120,181,272,399,568,785,1056,...} [6,6,1,117] (0,2,5) 117+125=242 {117,118,125,144,181,242,333,460,629,846,...} [6,6,1,208] (0,2,6) 208+216=424 {208,209,216,235,272,333,424,551,720,937,...} [6,6,1,335] (0,2,7) 335+343=678 {335,336,343,362,399,460,551,678,847,1064,...} [6,6,1,504] (0,2,8) 504+512=1016 {504,505,512,531,568,629,720,847,1016,1233,...} [6,6,1,721] (0,2,9) 721+729=1450 {721,722,729,748,785,846,937,1064,1233,1450,...} [6,6,1,37] (0,3,4) 37+64=101 {37,38,45,64,101,162,253,380,549,766,1037,...} [6,6,1,98] (0,3,5) 98+125=223 {98,99,106,125,162,223,314,441,610,827,1098,...} [6,6,1,189] (0,3,6) 189+216=405 {189,190,197,216,253,314,405,532,701,918,...} [6,6,1,316] (0,3,7) 316+343=659 {316,317,324,343,380,441,532,659,828,1045,...} [6,6,1,485] (0,3,8) 485+512=997 {485,486,493,512,549,610,701,828,997,1214,...} [6,6,1,702] (0,3,9) 702+729=1431 {702,703,710,729,766,827,918,1045,1214,1431,...} [6,6,1,61] (0,4,5) 61+125=186 {61,62,69,88,125,186,277,404,573,790,1061,...} [6,6,1,152] (0,4,6) 152+216=368 {152,153,160,179,216,277,368,495,664,881,...} [6,6,1,279] (0,4,7) 279+343=622 {279,280,287,306,343,404,495,622,791,1008,...} [6,6,1,448] (0,4,8) 448+512=960 {448,449,456,475,512,573,664,791,960,1177,...} [6,6,1,665] (0,4,9) 665+729=1394 {665,666,673,692,729,790,881,1008,1177,...} [6,6,1,91] (0,5,6) 91+216=307 {91,92,99,118,155,216,307,434,603,820,...} [6,6,1,218] (0,5,7) 218+343=561 {218,219,226,245,282,343,434,561,730,947,...} [6,6,1,387] (0,5,8) 387+512=899 {387,388,395,414,451,512,603,730,899,1116,...} [6,6,1,604] (0,5,9) 604+729=1333 {604,605,612,631,668,729,820,947,1116,1333,...} [6,6,1,127] (0,6,7) 127+343=470 {127,128,135,154,191,252,343,470,639,856,...} [6,6,1,296] (0,6,8) 296+512=808 {296,297,304,323,360,421,512,639,808,1025,...} [6,6,1,513] (0,6,9) 513+729=1242 {513,514,521,540,577,638,729,856,1025,1242,...} ...
Uvedený výraz pro r nemusí být - při prvním pohledu na posloupnosti - úplně zřejmý. Např. postupným zobecňováním dílčích posloupností pro [6,6,1,r] dostaneme tvar:
kde n = (t-s). Po dosazení dostaneme pak r = c3-b3- a3.
V následujících odstavcích se budeme zabývat některými specielními případy vztahů popsaných výše v části F-součty v posloupnostech.
Hledáme všechny posloupnosti f= {f(i)} v nichž existují takové členy f(a),f(b),f(c), že platí tzv. F-součet: f(a)+f(b)=f(c).
Přitom nás zajímá, jak tyto vztahy ( v případě posloupností f(n) = nk ) ovlivňují existenci řešení ak +bk =ck (Velká Fermatova věta říká, že takové řešení neexistuje).
Nejprve se zaměříme na případ k=3. Sledujeme tedy aritmetické posloupnosti 3-tího řádu ( 3-tí rozdílová posloupnost je konstantní).
Takovou posloupností je například {0,18,42,78,132,210,... }
0, 18, 42, 78, 132, 210, ... daná posloupnost {f(t)} 18, 24, 36, 54, 78, ... 1. rozdílová {d1(t)} 6, 12, 18, 24, ... 2. rozdílová {d2(t)} 6, 6, 6, ... 3. rozdílová {d3(t)}
Posloupnost má charakteristiku
[6,6,18,0] (čísla vlevo) - r0=0,r1=18,r2=6,r3=6.
V této posloupnosti platí 78+132=210, tedy říkáme, že existuje F-součet
(3,4,5) ~ f(3) +f(4) = f(5) .
Naopak ale víme že v posloupnosti {0,1, 8,27,64,125,216,... } s charakteristikou [6,6,1,0] žádný takový F-součet neexistuje.
Důkaz neexistence (pro k=3) už byl proveden - mezi prvními L.Eulerem (1707-1783) a J.L.Lagrangem (1736-1813).
V čem se tyto dvě posloupnosti (
[6,6,18,0] a [6,6,1,0]) liší?
Kdy existuje F-součet a kdy nikoliv?
V následujícím přehledu jsou vypsány posloupnosti s charakteristikami [6,6,r,0], kde r=1,2,..30, jejich první existující F-součet (v prvních 100 členech posloupnosti) a příslušné F-indexy.
Charakter. Posloupnost F-indexy F-součet ────────────────────────────────────────────────────────────────────────── [6,6,1,0] {0,1,8,27,64,125,216,... } [6,6,2,0] {0,2,10,30,68,130,222,...} ( 36, 37, 46) 46692+50690=97382 [6,6,3,0] {0,3,12,33,72,135,228,...} ( 10, 12, 14) 1020+1752=2772 [6,6,4,0] {0,4,14,36,76,140,234,...} ( 10, 18, 19) 1030+5886=6916 [6,6,5,0] {0,5,16,39,80,145,240,...} ( 72, 74, 92) 373536+405520=779056 [6,6,6,0] {0,6,18,42,84,150,246,...} ( 8, 13, 14) 552+2262=2814 [6,6,7,0] {0,7,20,45,88,155,252,...} ( 13, 27, 28) 2275+19845=22120 [6,6,8,0] {0,8,22,48,92,160,258,...} ( 29, 63, 65) 24592+250488=275080 [6,6,9,0] {0,9,24,51,96,165,264,...} ( 20, 24, 28) 8160+14016=22176 [6,6,10,0] {0,10,26,54,100,170,... } ( 4, 5, 6) 100+170=270 [6,6,11,0] {0,11,28,57,104,175,... } [6,6,12,0] {0,12,30,60,108,180,... } ( 5, 7, 8) 180+420=600 [6,6,13,0] {0,13,32,63,112,185,... } ( 20, 36, 38) 8240+47088=55328 [6,6,14,0] {0,14,34,66,116,190,... } ( 39, 80, 83) 59826+513040=572866 [6,6,15,0] {0,15,36,69,120,195,... } ( 15, 34, 35) 3585+39780=43365 [6,6,16,0] {0,16,38,72,124,200,... } ( 8, 9, 11) 632+864=1496 [6,6,17,0] {0,17,40,75,128,205,... } [6,6,18,0] {0,18,42,78,132,210,... } ( 3, 4, 5) 78+132=210 [6,6,19,0] {0,19,44,81,136,215,... } ( 30, 36, 42) 27540+47304=74844 [6,6,20,0] {0,20,46,84,140,220,... } ( 12, 13, 16) 1956+2444=4400 [6,6,21,0] {0,21,48,87,144,225,... } ( 13, 28, 29) 2457+22512=24969 [6,6,22,0] {0,22,50,90,148,230,... } ( 4, 6, 7) 148+342=490 [6,6,23,0] {0,23,52,93,152,235,... } [6,6,24,0] {0,24,54,96,156,240,... } ( 5, 8, 9) 240+696=936 [6,6,25,0] {0,25,56,99,160,245,... } ( 26, 54, 56) 18200+158760=176960 [6,6,26,0] {0,26,58,102,164,250,... } [6,6,27,0] {0,27,60,105,168,255,... } ( 13, 15, 18) 2535+3765=6300 [6,6,28,0] {0,28,62,108,172,260,... } ( 30, 54, 57) 27810+158922=186732 [6,6,29,0] {0,29,64,111,176,265,... } [6,6,30,0] {0,30,66,114,180,270,... } ( 2, 3, 4) 66+114=180
Postupným sledováním F-součtů (a, b, b+d) pro d=1,2,... odvodíme vztah pro r jako funkci a,b,d: r=F(a,b,d).
Pro d=1:
Charakter. Posloupnost F-indexy F-součet ────────────────────────────────────────────────────-───────────────────── [6,6,30,0] {0,30,66,114,180,270,... } ( 2, 3, 4) 66+114=180 [6,6,54,0] {0,54,114,186,276,390,...} ( 2, 4, 5) 114+276=390 [6,6,84,0] {0,84,174,276,396,540,...} ( 2, 5, 6) 174+540=714 ... [6,6,18,0] {0,18,42,78,132,210,... } ( 3, 4, 5) 78+132=210 [6,6,33,0] {0,33,72,123,192,285,... } ( 3, 5, 6) 123+285=408 ...
r = 3 * b(b+1)/(a-1) - a(a+1), například pro a=2, b=3 je r = 3*3*4/1 - 2*3 = 30, pro a=3, b=5 je r = 3*5*6/2 - 3*4 = 33.
Pro d=2:
Charakter. nbsp; Posloupnost F-indexy F-součet ────────────────────────────────────────────────────-───────────────────── [6,6,37,0] {0,37,80,135,208,305,...} ( 8, 10, 12) 800+1360=2160 [6,6,60,0] {0,60,126,204,300,420,...} ( 8, 11, 13) 984+1980=2964 ...
r = 6 * b(b+2)/(a-2) - a(a+2) - 3, například pro a=8, b=11 je r = 6*11*13/6 - 8*10 - 3 = 60
Označme c=b+d. V posloupnosti s charakteristikou [6,6,r,0] existuje F-součet (a, b, c) = (a, b, b+d), když platí
V posloupnostech s charakteristikou [6,6,r,0] existují F-součty (5,7,8), (5,8,9),(5,11,12), (5,12,13), to je (5, b, b+1) jen pro některá b.
Například pro b=9 takový součet neexistuje.To plyne z právě odvozeného vztahu pro a=5,b=9, d=1:
r = 3*d*b*(b+d)/(a-d) - a(a+d) - d² + 1 = 3*1*9*10/4 - 5*6 - 1 + 1 = 75/2 = 37.5
Příčinou neexistence F-součtu je skutečnost, že výraz 3*d*b*(b+d) není násobkem (a-d), tedy neplatí (a-d) | 3*d*b*(b+d).
V posloupnosti s charakteristikou [6,6,1,0] je r=1. Pokud platí a³+b³=(a+d)³, tak 1 = 3*d*b*(b+d)/(a-d) - a(a+d) - d² + 1, tedy:
Po vynásobení (a-d) dostaneme:
Ze vztahu 3dbc=a³-d³ plyne, že d | a³ a tedy pokud je číslo a prvočíslo (a εP), tak je nutně d=1.
V obecném případě ap +bp = cp (pεP) přitom platí, že p < a < b < c < (a+b).
Pokud b*c dělí výraz a³-d³= (a-d) * (a²+ad+d2 ), pak nutně ( b*c, a-d) > 1 nebo b*c | a²+ad+d2.
Catalan, Charles EugeneCatalan, Charles Eugene [], 1814-1894, původem belgický matematik působící ve Francii a Belgii. Kromě teorie čísel se zabýval také deskriptivní geometrií a kombinatorikou. |
V případě d=1 (a εN) tj. 3b(b+1)= a³-1 má být 3 | a³-1, tedy nelze aby 3 | a.
Protože a³-1 = (a-1) (a²+a+1) musí platit 3 | a-1 nebo 3 | a²+a+1; druhý ale platí jedině v případě a=1 (mod 3), to jest 3 | a-1.
Charles Catalan odvodil (r.1886) v obecném případě ap +bp =(b+1)p (p εP), že platí: