Ve snaze přiblížit se k řešením VF-věty by mohlo proto dávat smysl znát pravidla pro součty Fermatových koeficientů. Na rozdíl od posloupnosti čísel np v posloupnostech čísel f(n,p) součty existují. Pro dané p budeme zapisovat f(n,p) = f(n).
V případě pεP udávají čísla np celkový počet instancí v systémech G(n,p).
Tento počet je přibližně p-násobkem počtu vlastních druhů a počty vlastních druhů
odpovídají Fermatovým koeficientům f(n,p) =(np−n)/p.
(a,b,c) f(a)+f(b)= f(c) (a,b,c) f(a)+f(b)= f(c) ───────────────────────────── ─────────────────────────── ( 4, 6, 7) 6 + 15 = 21 ( 8, 28, 29) 28 +378 =406 ( 5, 10, 11) 10 + 45 = 55 ( 9, 11, 14) 36 + 55 = 91 ( 6, 7, 9) 15 + 21 = 36 ( 9, 36, 37) 36 +630 =666 ( 6, 15, 16) 15 +105 =120 ( 7, 10, 12) 21 + 45 = 66 ( 7, 21, 22) 21 +210 =231
Pro p=3: Pro p=5:
(a,b,c) f(a)+f(b)= f(c) (a,b,c) f(a)+f(b)= f(c) ─────────────────────────── ──────────────────────────── ( 9, 15, 16) 240+1120 =1360 (13,16,17) 74256+209712=283968 (21, 55, 56) 3080+55440=58520 (31, 56, 59) 9920+58520=68440
Pro vyšší hodnoty Fermatových koeficientů se ukazuje že k splnění rovnice f(a)+f(b)= f(c) musí být oba sčítance dostatečně velké. Hodnoty f(a),f(b) a tedy i a,b se postupně vyrovnávají. V případě p=2 pro řešení (13, 78, 79), tj. 78+3003=3081, dává poměr (a+b)/c hodnotu 1,15190.
Další řešení se blíží k hodnotě (a+b)/c = √2 = 21/2:
(1728,1768,2472) 1492128+1562028 =3054156 1,41424 (1738,1768,2479) 1509453+1562028 =3071481 1,41428 (1740,1794,2499) 1512930+1608321 =3121251 1,41417 (1751,1765,2486) 1532125+1556730 =3088855 1,41432
Obdobně v případě p=3 roste poměr (a+b)/c směrem k hodnotě 22/3
( 923,1287,1429) 262109848+ 710581872 =972691720 1,54654 ( 969,1002,1242) 303284080+ 335337002 =638621082 1,58696 (1352,1479,1787) 823774952+1078407920 =190218287 1,58422
Obecně ze vztahu 2∙f(a) = f(c) plyne a/c = 21/p tj.2a/c = 2(p−1)/p.
Rozhodující posloupností budeme nazývat první rozdílovou posloupnost dané aritmetické posloupnosti. Např. v posloupnosti druhých mocnin jde o posloupnost R2 = {1,3,5,7,9,11,13,...} a v posloupnosti třetích mocnin o posloupnost R3 = {1,7,19,37,61,91,127,.....} Zajímá nás jaké musí být sčítance (prvky rozhodující posloupnosti), aby jejich součtem byla k-tá mocnina nějakého čísla.
Např. v posloupnosti R3 (k=3):
Dva sčítance: ------------- 3781+4219=8000 = 20^3 19+17557=17576 = 26^3 7651+25117=32768 = 11347+21421=32768 = 32^3 ...Čísla ...,20,26,32,... jsou tvaru 2 + 6n = 2 + 2kn
Tři sčítance: ------------- 7+91+631=37+61+631=61+271+397=91+169+469=127+271+331=...=729=9^3 7+1261+2107=19+919+2437=37+169+3169=37+547+2791=37+1387+1951=...=3375 = 15^3 19+331+8911=61+3781+5419=91+1519+7651=...=9261 =21^3Čísla ..,9,15,21,... jsou tvaru 3 + 6n = 3 + 2kn
Obdobný výsledek dostaneme pro 4, 5 a více sčítanců. Obecně pro p sčítanců má výsledná mocnina tvar:
. To je prostý důsledek faktu, že pokud a^2+b^k=c^k, k ε P tak a+b-c = 2kq, q ε N.