Experimenty

Fermatovy koeficienty

Ve snaze přiblížit se k řešením VF-věty by mohlo proto dávat smysl znát pravidla pro součty Fermatových koeficientů. Na rozdíl od posloupnosti čísel n^p v posloupnostech čísel f(n,p) součty existují. Pro dané p budeme zapisovat f(n,p) = f(n).

Součty Fermatových koeficientů

V případě pεP udávají čísla n^p celkový počet instancí v systémech G(n,p). Tento počet je přibližně p-násobkem počtu vlastních druhů a počty vlastních druhů odpovídají Fermatovým koeficientům f(n,p) =(n^p−n)/p.

(a,b,c)       f(a)+f(b)= f(c)  (a,b,c)      f(a)+f(b)= f(c)
─────────────────────────────  ───────────────────────────
( 4,  6,  7)    6 + 15 = 21    ( 8, 28, 29)   28 +378 =406
( 5, 10, 11)   10 + 45 = 55    ( 9, 11, 14)   36 + 55 = 91 
( 6,  7,  9)   15 + 21 = 36    ( 9, 36, 37)   36 +630 =666
( 6, 15, 16)   15 +105 =120
( 7, 10, 12)   21 + 45 = 66 
( 7, 21, 22)   21 +210 =231

Pro p=3: Pro p=5:

(a,b,c)     f(a)+f(b)= f(c)    (a,b,c)  f(a)+f(b)= f(c)
───────────────────────────    ────────────────────────────
( 9, 15, 16)  240+1120 =1360   (13,16,17) 74256+209712=283968  
(21, 55, 56) 3080+55440=58520
(31, 56, 59) 9920+58520=68440

Velikost sčítanců

Pro vyšší hodnoty Fermatových koeficientů se ukazuje že k splnění rovnice f(a)+f(b)= f(c) musí být oba sčítance dostatečně velké. Hodnoty f(a),f(b) a tedy i a,b se postupně vyrovnávají. V případě p=2 pro řešení (13, 78, 79), tj. 78+3003=3081, dává poměr (a+b)/c hodnotu 1,15190.

Další řešení se blíží k hodnotě (a+b)/c = √2 = 2^1/2:

      (1728,1768,2472)     1492128+1562028 =3054156  1,41424
      (1738,1768,2479)     1509453+1562028 =3071481  1,41428
      (1740,1794,2499)     1512930+1608321 =3121251  1,41417
      (1751,1765,2486)     1532125+1556730 =3088855  1,41432

Obdobně v případě p=3 roste poměr (a+b)/c směrem k hodnotě 2^2/3

      ( 923,1287,1429) 262109848+ 710581872 =972691720  1,54654
      ( 969,1002,1242) 303284080+ 335337002 =638621082  1,58696
      (1352,1479,1787) 823774952+1078407920 =190218287  1,58422

Obecně ze vztahu 2∙f(a) = f(c) plyne a/c = 2^1/p tj.2a/c = 2^(p−1)/p.

Rozhodující posloupnosti

Součty v rozhodujících posloupnostech

Rozhodující posloupností budeme nazývat první rozdílovou posloupnost dané aritmetické posloupnosti. Např. v posloupnosti druhých mocnin jde o posloupnost R2 = {1,3,5,7,9,11,13,...} a v posloupnosti třetích mocnin o posloupnost R3 = {1,7,19,37,61,91,127,.....} Zajímá nás jaké musí být sčítance (prvky rozhodující posloupnosti), aby jejich součtem byla k-tá mocnina nějakého čísla.

Např. v posloupnosti R3 (k=3):

Dva sčítance:
-------------
3781+4219=8000 = 20^3
19+17557=17576 = 26^3
7651+25117=32768 = 11347+21421=32768 = 32^3
 ...

Tři sčítance:
-------------
7+91+631=37+61+631=61+271+397=91+169+469=127+271+331=...=729=9^3
7+1261+2107=19+919+2437=37+169+3169=37+547+2791=37+1387+1951=...=3375 = 15^3
19+331+8911=61+3781+5419=91+1519+7651=...=9261 =21^3

Obdobný výsledek dostaneme pro 4, 5 a více sčítanců. Obecně pro p sčítanců má výsledná mocnina tvar:

(p+2kn)^k

. To je prostý důsledek faktu, že pokud a^2+b^k=c^k, k ε P tak a+b-c = 2kq, q ε N.