V následujících odstavcích jsou některé poznámky týkající se posloupností a řad...
Zajímavou skupinu tvoří řady defiované vztahem:
Periodu posloupnosti {ak} označme m.
Pro nulovou posloupnost {ak} platí E{0} = 0. A pro E{1} nebo E{-1} užijeme Eulerův vztah: E(x) = e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! ...
E(-1) = -e E{1} = e
Ze vztahů:
E{0,1} = (e - 1/e)/2 = 1.175201194 E{1, 0} = (e + 1/e)/2 = 1.543080635
dostaneme:
E{1,0,0} = 1.168058313 E{0,1,0} = 1.041865365 E{0,0,1} = 0.508358157(=1.016716314 / 2)
E{1,0,0,0} = 1.04169147 (=a) E{0,1,0,0} = 1.00833609 (=b) E{0,0,1,0} = 0.50138916 (=1.00277832 / 2 =c) E{0,0,0,1} = 0.16686511 (=1.00119066 / 4 =d)
A známé řady pro sinus a kosinus:
E{0,1,0,-1} = sin 1 [rad] = (ei-1/ei)/2i = 0.841470985 (=b-d) E{1,0,-1,0} = cos 1 [rad] = (ei+1/ei)/2 = 0.540302306 (=a-c)
Přitom (zděděním z m = 2) máme:
E{0,1,0,1} = E{0, 1} = (e - 1/e)/2 = 1.175201194 (=b+d) = sinh 1 (hyperbolický sinus) E{1,0,1,0} = E{1, 0} = (e + 1/e)/2 = 1.543080635 (=a+c) = cosh 1 (hyperbolický kosinus)
Ze součtu výrazů E{1,0,-1,0} + E{1,0,1,0} = 2*E{1,0,0,0} (=2*a) dostaneme (ei+1/ei)/2 + (e + 1/e)/2.
A obdobně z E{0,1,0,-1} + E{0,1,0,1} = 2*E{0,1,0,0} (=2*b) dostaneme (ei/i-1/ei/i)/2 + (e - 1/e)/2 tj:
Dále E{1,0,1,0} - E{1,0,-1,0} = 2*E{0,0,1,0} (=2*c) a E{0,1,0,1} - E{0,1,0,-1} = 2*E{0,0,0,1} (=2*d) tj:
Výsledkem součtů pro jednoduché mocninné posloupnosti jsou výrazy, jejichž koeficienty jsou Stirlingova čísla druhého druhu:
E(n) = x*ex E(n2) = (x2+x)*ex E(n3) = (x3+3*x2+x)*ex E(n4) = (x4+6*x3+7*x2+x)*ex E(n5) = (x5+10*x4+25*x3+15*x2+x)*ex
Známý je výsledek součtu pro posloupnost Bernouliových čísel Bn:
Pro čísla En/2n z Eulerových polynomů En(x):