Cykly v matematice

Čísla jako cykly

několik drobných poznámek

Komplexní čísla

Zavedení komplexních čísel znamenalo velký pokrok - nejen pro řešení algebraických rovnic.
Celá záležitost není ale zdaleka jasná a průhledná, všimněmě si některých úskalí:

• při řešení kubické rovnice lze v některých případech reálný kořen vyjádřit jen pomocí odmocnin z komplexních výrazů (Casus irreducibilis)
• možnost zobrazení čísel v komplexní (Gaussově) rovině neznamená, že jsou obě osy "rovnocenné" (zaměnitelné)
• použití imaginárního čísla "i" v exponentu nevytvoří exponenciálu, ale periodickou funkci e^ix = cos x + i.sin x:
  e^ix = 1 + i.x/1! - x²/2! - i.x³/3! + x⁴/4! ...
  kde cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! ... a sin x = x/1! - x³/3! ...
• logaritmus komplexního čísla je (obecně) vícehodnotová funkce
• nepodařilo se (uspokojivě) zobecnit komplexní čísla na vícesložková čísla

Eulerova funkce Phi

Eulerova funkce čísla a = Π(p_i) je definována vztahem:
φ(a) = a. Π(1-1/p_i), kde p_i jsou prvočísla rozkladu.
Tento výraz můžeme přepsat na tvar:

  φ(a) = a / Π(1, p_i)  

,

kde výraz (1, p) je synodická perioda prvočísla p vzhledem k číslu 1.

Riemannova funkce Zeta

Riemannova funkce Zeta je definována vztahem:
ζ(s) = Π(1-1/p_i)^-s kde p_i jsou všechna prvočísla.
Tento výraz můžeme přepsat na tvar:

  ζ(s) = Π(1, p_i^s)  

,

kde výraz (1, p^s) je synodická perioda mocniny prvočísla p^s vzhledem k číslu 1.

Funkce Eta versus Zeta

Dirichletova funkce Eta je definována vztahem:
η(s) = (1-1/2^s-1) * ζ(s).
Tento výraz můžeme přepsat na tvar:

  η(s) = ζ(s) * (1, 2^s-1))  

,

kde výraz (1, 2^s-1) je synodická perioda (s-1)-ní mocniny čísla 2 vzhledem k číslu 1.

Mertenova věta

Pro n jdoucí do nekonečna platí:

  Π(1, p_i) = e^λ . ln(p_i)  

,

kde výraz (1, p_i) je synodická perioda prvočísla p vzhledem k číslu 1.