Řešitelnost algebraických rovnic

Polynomy

 f(x)∙g(y)│  y²    3y    2
 ─────────┼──────────────────
   2x²    │ 2x²y²  6x²y  4x²
   4x     │ 4xy²  12xy  8x
   3      │ 3y²    9y   6

  h(x,y) = f(x)∙g(y) =
= 2x²y²+ 6x²y+ 4x²+ 4xy²+ 12xy+ 8x+ 3y²+ 9y+ 6

Rovnost polynomů

Uvažujme dva polynomy P(x) a R(x). Polynomy se algebraicky rovnají, když se rovnají všechny jejich koeficienty. Když se rovnají jejich hodnoty, říkáme, že se polynomy rovnají funkčně.
V oborech s konečným počtem prvků může nastat případ, kdy dva polynomy s různými koeficienty dávají (pro všechna možná x) stejné hodnoty: V oboru Z3 (x=0,1,2) se algebraicky různé polynomy P(x)=x⁴−1 a Q(x)=x⁴+x³−x−1 funkčně rovnají, protože dávají pro všechna x stejné hodnoty.

Primitivní polynomy

Polynom, jehož koeficienty nemají společného dělitele většího než 1, tj. (an,an−1,....a1,a0)=1, se nazývá primitivní polynom.

Když f a g jsou primitivní polynomy, pak f∙g je také primitivní polynom.
Např. (3x²+4x+5)(2x+3) = 6x³+14x²+22x+15, kde (6,14,22,15) = ((6,14),(22,15)) = (2,1) = 1.

Algebraické rovnice

Algebraické prvky

Mějme výraz P(x) = a(n)xⁿ+...+a(2)x²+a(1)x¹+a(0),

kde x je z nějakého (definičního) oboru D. Když hodnota P(x) nepatří ani pro jedno x do D, nazývá se prvek x transcendentní .
V opačném případě (tj. když alespoň jeden výsledek do oboru D patří) říkáme, že prvek x je algebraický .

Doplněním m transcendentních prvků (x,y,...) dostáváme polynom o m neznámých.

Existuje-li mezi neznámými nějaký vztah (např. y=x²,..), říkáme, že jsou transcendentní prvky algebraicky závislé . Algebraicky nezávislé transcendentní prvky se nazývají neurčité.

Kořeny algebraické rovnice

Řešení kvadratické rovnice

    x1+x2 = e1 
    x1-x2 = √(e12 - 4e2) = √D

Při řešení kvadratické rovnice se využívá vztahu: (x₁+x₂)² − 4x₁x₂ = (x₁−x₂)². Z (x₁+x₂)² = e₁² a (x₁−x₂)² = e₁² − 4e₂ = D, kde D je tzv. diskriminant, plynou dvě lineární rovnice a z nich přímo řešení x₁ a x₂.

Ve vyjádření s koeficienty rovnice závisí diskriminant D = b²−4ac stejnou měrou na koeficientu a i koeficientu c.
Proto např. rovnice x²−5x+6=0 i 6x²−5x+1=0 mají stejný diskriminant.

Vnitřní substituce

Substituce využívá k zjednodušení daného výrazu obvykle jiného výrazu, např. rovnice x⁴+x²+1 = 0 se řeší pomocí funkce y=x². Substituovat je možné i tentýž výraz do sebe sama. Např. rovnici x²−x−1 = 0 je možné přepsat na x=1+1/x a pak za x postupně na pravou stranu dosazovat. Tím se řešení rovnice převede na tzv.řetězový zlomek.   x = 1+ 1/x  =>  x = (1+1/(1+1/x)) 

=> x = (1+1/(1+1/(1+1/x)))  => ... x=(1+√5)/2

Viétovy vzorce

Při řešení kvadratické rovnice ax²+bx+c=0

 (resp. x²+px+q=0) se ukazuje, že koeficienty rovnice můžeme zapsat pomocí kořenů x₁ a x₂.

Platí   a(x−x₁)∙(x−x₂) = ax²−a(x₁+x₂)x+a(x₁∙x₂)= 0  resp. (x−x₁)∙(x−x₂) = x²−(x₁+x₂)x+(x₁∙x₂)   = 0

A Vietovy vzorce:   (x₁+x₂) = −b/a = −p,      (x₁∙x₂) = c/a = q.

Postavení kořenů x₁ a x₂ je symetrické. Záměna kořenů nic nezmění na daných koeficientech, tj. koeficienty jsou symetrickými funkcemi kořenů. Levé strany vzorců tvoří orbitální polynomy:  o₂(x₁)   = x₁+x₂=−p = e₁      o₂(x₁∙x₂)= x₁∙x₂= q = e₂

Zde je důležité si povšimnout, že pokud jsou koeficienty p,q z číselného oboru T a kořeny z oboru U, musí U v sobě obsahovat T (tj. U je nadmnožinou T, včetně možnosti U=T). To platí obecně - pro rovnice všech stupňů.

Základní věta algebry

Každá algebraická rovnice P(x)=0, kde P(x) je polynom stupně k,má v oboru komplexních čísel alespoň jeden kořen. Je-li tímto kořenem x*, pak P(x) je dělitelné výrazem (x−x*). Odtud plyne, že algebraická rovnice P(x)=0 k-tého stupně má v oboru komplexních čísel vždy právě k kořenů (se započítáním násobnosti). Základní větu algebry dokázal K.F.Gauss. Důkaz přispěl k uznání komplexních čísel. Věta zaručuje existenci řešení, ale neurčuje, jak řešení najít.

Úskalí řešení

Kubická rovnice

V kubické rovnici x³+px²+qx+r=0 platí pro kořeny x₁,x₂,x₃:  o₃(x₁) = x₁+x₂+x₃  = −p  = e₁  o₃(x₁∙x₂) = x₁∙x₂+x₁∙x₃+x₂∙x₃ =  q  = e₂  o₃(x₁∙x₂∙x₃) = x₁∙x₂∙x₃   = −r  = e₃

Rovnice se obvykle převádí nejprve na redukovaný tvar , ve kterém p=0. Podle hodnot q a r je možné rozlišit tři typy rovnic: 1/ q>0,r<0, 2/ q<0,r>0 3/ q<0,r<0.

Příklad

Uvažujme  kubickou rovnici x³−7x+6 = 0, tedy p=0, q=−7, r=6.

Platí:

    x1+x2+x3   =  0
    x1∙x2+x1∙x3+x2∙x3 = −7
    x1∙x2∙x3   = −6

K řešení se nabízí:

Rovnice má řešení x₁=1, x₂=2, x₃=−3. Získat tato řešení v obecném případě není ale nijak jednoduché.

Symetrie

Z rovnice x₁+x₂+x₃ = 0 vyjádříme jeden z kořenů a dosadíme do zbývajících dvou rovnic. Vždy dostaneme stejné tvary rovnic: Vyjádření x₃  Vyjádření x₂   Vyjádření x₁     x₁² + x₁x₂ + x₂²= 7   x₁² + x₁x₃ + x₃²= 7    x₂² + x₂x₃ + x₃²= 7 x₁²x₂ + x₁x₂²   = 6   x₁²x₃ + x₁x₃²   = 6    x₂²x₃ + x₂x₃²   = 6

Jak ale z těchto rovnic získat řešení není stále zřejmé. Nepomůže ani substituce orbitálních polynomů x₁+x₂=u, x₁x₂=v, která nás přes vztahy u²−v = 7, uv= 6 jen vrátí k původní rovnici.

Cardanovy vzorce

Italským matematikům (S.Ferro, N.Tartaglia,..) se podařilo odhalit obecný vzorec pro řešení kubické rovnice. Řešení (v redukovaném případě p=0) vzniká kombinací hodnot u₁ a u₂, kde:

  u_1,2 = 3√(−r/2±√D), kde D=(r/2)² +(q/3)³ 

Nejjednoduší řešení má tvar x₁=u₁ + u₂.

Když má ale rovnice tři reálné kořeny, je  výsledek těžko použitelný. V našem příkladě je D = 3² +(−7/3)³ = −100/27 a   u_1,2 = 3√(−3±10i/3√3).

Tento případ býval nazýván "casus irreducibilis" a nebyl dále řešen. K zprůhlednění nepomohla ani teorie imaginárních čísel vypracovaná matematikem R.Bombellim (r.1572).

Rovnice s reálnými kořeny se v tomto případě řeší goniometricky, hledá se úhel φ, pro který cosφ=−9√3/7√7.

Casus irreducibilis

Podívejme se podrobněji na případ x³ -15x -4 = 0. Z Cardanových vzorců vyjde řešení ve tvaru:

•   x= ³√(2 + 11i) + ³√(2 - 11i)

Odmocnit komplexní čísla přitom jednoduše nelze.
V našem příkladě víme, že: (2 + i)³ = 2 + 11i   a obecně pro řešení (f, g) = f + gi výrazu (r, s) = r + si platí (f + gi) ³ = r + si, tedy:

  f³ - 3fg² = r     (1) a

  g³ - 3gf² = -s.    (2)

Substituce jedné rovnice do druhé však - po několika nutných úpravách - vede opět k (původnímu) neřešitelnému tvaru...

Nabízí se ještě jedna možnost. Podívejme se na příklady některých řešení (f, g) ← (r, s):

 
 (1,1) ← (-2,-2),  (1,2) ← (-11,2),   (1,3) ← (-26,18), (1,4) ← (-47,52), (1,5) ← (-74,110), ... 
 (2,1) ← (2,-11),  (2,2) ← (-16,-16), (2,3) ← (-46,9),  (2,4) ← (-88,16), (2,5) ← (-142,65), ... 
    ...

Norma řešení |f + gi| = f² + g² je vždy třetí odmocninou normy |r + si| = r² + s² .
Např. N(1,3) = 1 + 9 = 10 a N(-26,18) = 676 + 324 = 1000 = 10² Tedy dostáváme ještě jeden vztah:

  N(f,g) = f² + g² = ³√(r² + s²) = ³√N(r,s)   (3)

Ani tato třetí rovnice (která umísťuje kořeny řešení na elipsu s rovnicí f² + g² = C (=³√N(r,s)) nepomůže.
Substitucí do rovnic (1) a (2) dostaneme 4f³ - 15f - 2 =0; a 4g³ - 15g + 11 =0; a to jsou opět (původní) neřešitelné tvary rovnic...!?

Goniometrické řešení

Mezi goniometrickými funkcemi existují vztahy, které je možné substitucí převést na algebraické rovnice (viz Čebyševovy polynomy). Např. cos(3u) = 4cos³(u)−3cos(u), tj. 4cos³(t/3)−3cos(t/3)−cos(t) = 0 pro dané c=cos(t) a neznámou x=cos(t/3) dává 4x³−3x−c = 0. Odtud (z druhé strany) usoudíme, že kubickou rovnici 4x³−3x−c = 0 je možné snadno řešit goniometricky. Rovnice třetího stupně nemá ale reprezentaci v rovině, není možná tzv. trisekce úhlu.

Odhad počtu kořenů

Podle Descartovy věta má algebraická rovnice nejvýše tolik kladných kořenů, kolik obsahuje znaménkových změn, tj. kolikrát je
splněno a(j)∙a(j+1)<0 v rovnici
a(k)∙x^k+...+a(2)∙x²+a(1)∙x+a(0)=0.
V závislosti na počtu těchto změn je také počet kladných kořenů sudý nebo lichý.

Znaménka koeficientů rovnic

Algebraické rovnice je výhodné zapisovat s měnícími se znaménky: (Přitom bychom měli také přeformulovat Descartovu větu,...)

    Obvyklý zápis        Přepis
    ────────────────────────────────────
    x²+px+q = 0;         x²−e1x+e2 = 0
    x³+px²+qx+r=0       x³−e1x²+e2x−e3 = 0

Rovnice s reálnými kořeny

Pokud má druhá mocnina dané rovnice střídající se znaménka, má daná rovnice jen reálné kořeny.
Např. protože (x³−7x)² = (−6)²

a x⁶−14x⁴+49x²−36 = 0 má střídavá znaménka, má rovnice x³−7x+6 = 0 jen reálné kořeny.
Rozhodnutí, zda jsou všechny kořeny reálné je potřebné např. v Graffově-Lobačevského metodě řešení algebraických rovnic.

Bikvadratická rovnice

A v bikvadratické rovnici x⁴+px³+qx²+rx+s=0 kořeny x₁,x₂,x₃,x₄ splňují:  o₄(x₁)   = x₁+x₂+x₃+x₄       = −p = e₁  o₄(x₁∙x₂)   = x₁∙x₂+x₁∙x₃+x₁∙x₄+x₂∙x₃+x₂∙x₄+x₃∙x₄ = q  = e₂

 o₄(x₁∙x₂∙x₃)    = x₁∙x₂∙x₃+x₁∙x₂∙x₄+x₂∙x₃∙x₄   = −r = e₃  o₄(x₁∙x₂∙x₃∙x₄) = x₁∙x₂∙x₃∙x₄       = s  = e4

Ferrariho řešení spočívalo v převedení bikvadratické rovnice na kubickou.

Mocniny kořenů rovnic

Řešení rovnice n-tého stupně je ekvivalentní n-rovnicím pro součty mocnin kořenů (viz Koeficienty Waringovy formule:)

k=2:
  x1+x2  =  e1  = −p                    
  x1²+x2²  = e1²−2e2  =  p²−2q    
 ────────────────────────────────────────────
k=3:
  x1+x2+x3  =  e1  = −p                
  x1²+x2²+x3²  =  e1²−2e2  = p²−2q                
  x1³+x2³+x3³  =  e1³−3e1e2+3e3 =   −p³+3pq−3r

Permutace

Invariantní polynomy

Přečíslujeme-li indexy proměnných v polynomu f=f(t₁,t₂,t₃...) podle určité permutace p získáme nový polynom f'(t₁,t₂,t₃...). Permutace s cyklem [1,2] změní f(t₁,t₂)=t₁³+t₂ na f'(t₁,t₂)=t₂³+t₁. Má-li polynom nejvýše 3 proměnné budeme místo označení t₁,t₂,t₃ používat obvyklé x,y,z: tedy f(x,y)=x³+y se změní na f'(x,y)=y³+x.

Polynom f je invariantní vzhledem k permutaci p, když f a f' jsou stejné, např. f(x,y)=f'(x,y)=x+y.

Grupa inerce polynomu

Všechny permutace, které neovlivňují polynom, vytvářejí grupu, tzv.grupu inerce polynomu. Grupou inerce symetrických mnonočlenů je grupa všech permutací S_n.

Orbitální polynomy

Polynom, který je součtem všech permutací daného polynomu f nazýváme orbitální a značíme o_n(f). Každý orbitální polynom je invariantní vzhledem k libovolné permutaci.   o₂(xy²) = xy² + yx²

Pro polynom f(t₁,t₂,t₃,..) = t₁^k, nabývá orbitální polynom tvaru mocninného součtu: o_n(t₁^k) = t₁^k+t₂^k+t₃^k+.... = s_n(k).       s3(x⁵) = x⁵ + y⁵ + z⁵

Rozpis orbitálních polynomů

Libovolný orbitální polynom on je možné zapsat pomocí mocninných polynomů s_n. Např. z rozpisu součin s₂(u)∙ s₂(v) dostaneme:    s₂(u)∙ s₂(v) =(x^u+y^u)(x^v+y^v) = x^u+v+ x^u∙y^v+ x^v∙y^u   = s₂(u+v) + o₂(x^u,y^v)

Tedy: o₂(x^u,y^v) = s₂(u)∙ s₂(v) − s₂(u+v).

Elementární symetrické polynomy

Orbitální polynomy o_n(t₁),o_n(t₁∙t₂),o_n(t₁∙t₂∙t₃),...se nazývají elementární symetrické polynomy .   o₁(x) = x   o₂(x) = x+y    o₂(x∙y) = x∙y.   o₃(x) = x+y+z  o₃(x∙y) = x∙y+x∙z+y∙z  o₃(x∙y∙z) = x∙y∙z

Každý symetrický polynom je možné sestavit z elementárních symetrických polynomů.

Zachování symetrie

Polynom f(t₁,t₂,..) se nazývá symetrický, když je invariantní vzhledem k libovolné permutaci. Obdobně funkce f(t₁,t₂,..) je symetrická, když její hodnota nezávisí na přeskupení argumentů t₁,t₂,...

Součet i součin dvou symetrických polynomů je také symetrický. Proto, když do nějakého polynomu f(t₁,t₂,t₃,..) dosadíme za t₁,t₂,t₃,... symetrické polynomy, je výsledný polynom také symetrický.
Např. do polynomu g(t₁,t₂)= 2t₁²+3t₂ dosadíme t₁=x+y a t₂=x∙y. Dostaneme:   g(x+y,x∙y) = 2(x+y)²+3xy = 2x²+2y²+7xy

tj. symetrický polynom.

Sudosymetrické polynomy

Polynom je sudosymetrický, když je invariantní vzhledem k sudým permutacím. Sudosymetrické polynomy jsou buď symetrické nebo antisymetrické.
Např. x+y je symetrický (a tudíž i sudosymetrický), x−y je antisymetrický (je sudosymetrický a není symetrický).

Součiny symetrických (S) a antisymetrických (A) polynomů respektují při násobení následující tabulku:

      S   A        S∙S = S    (x+1)(x+1) = x²+2x+1
  ─────────        S∙A = A    (x+1)(x−1) = x²−1
  S   S   A        A∙S = A    (x−1)(x+1) = x²−1 
  A   A   S        A∙A = S    (x−1)(x−1) = x²−2x+1

Kopie struktury

Zobrazení, které přiřazuje určité struktuře jinou strukturu nazveme obecně deformace (morfizmus). Struktury mohou mít různý počet prvků i různé vnitřní složení.

Zvláštním případem průmětu je kopie (izomorfní zobrazení, izomorfizmus), kdy obě algebraické struktury mají stejný počet prvků i stejné vnitřním složení.

Např. grupa tvořená hodnotami f(x) je kopií grupy hodnot x:

    x        f(x)
    ────────────────────
    0 1 2    I R S
    1 2 0    R S I
    2 0 1    S I R

V takovém případě platí:

Složení kopií je kopie.

Tabulku T(r,∙), rεP je možné převést na T(φ(r),+). Přepišme např. T(5,∙) podle pravidla:  1→0,2→1,4→2,3→3 (tj. každou jedničku nahradíme nulou, dvojku jedničkou a čtyřku dvojkou, trojky ponecháme).

T(5,*):            T(4,+):
   * │ 1 2 3 4        + │ 0 1 3 2
   ──┼────────        ──┼────────
   1 │ 1 2 3 4        0 │ 0 1 3 2
   2 │ 2 4 1 3        1 │ 1 2 0 3
   3 │ 3 1 4 2        3 │ 3 0 2 1
   4 │ 4 3 2 1        2 │ 2 3 1 0

Stejným způsobem se chovají všechny tabulky pro rεP. Multiplikativní grupa řádu r a aditivní grupa řádu φ(r) jsou dvě kopie téže struktury.

Průmět struktury

Deformaci, která nenaruší operace zavedené v těchto strukturách, nazveme průmět (homomorfní zobrazení, homomorfizmus). Průmět struktury může mít jiný počet prvků než výchozí struktura. Průmětem je např. zobrazení celých čísel do množiny zbytkových tříd podle modulu r.   Z ───> Z_r

Obor Z je nekonečný, zatímco obor Z₇ tvoří 7 prvků (0,..,6). Pro r= 7 je:    V oboru Z   V oboru Z₇    3+9= 12  ───> (3 mod 7)+(9 mod 7)= (12 mod 7)  tj. 3 + 2 = 5    3∙9= 27  ───> (3 mod 7)∙(9 mod 7)= (27 mod 7)  tj. 3 ∙ 2 = 6

Složení průmětů je průmět.

Struktura rovnic

Lagrangeovy rezolventy

Při řešení jakékoliv algebraické rovnice je nutné využít symetrie kořenů. Napodobit vztah (x₁+x₂)² − (x₁−x₂)² = 4x₁x₂, který umožňuje snadno řešit kvadratickou rovnici (viz Kvadratická rovnice) je ale obtížné. Např. rozdíl (x₁+x₂+x₃)³ a některého výrazu (x₁±x₂±x₃)³ obsahuje stále příliš mnoho členů.

Lagrange zkoumal výrazy tvaru:

a ukázal, že (specielně v případě k=3) jejich k-tá mocnina dává pro všechny možné permutace kořenů jen 2 různé hodnoty. Výrazy L() se nazývají Lagrangeovy rezolventy. Jejich koeficienty jsou kořeny binomické rovnice a jsou tedy rovnoměrně rozestoupené na jednotkové kružnici.
V případě kubické rovnice je α = (−1+i√3)/2 (viz Binomická rovnice/ Základní kořen) a pro jednotlivé permutace rovnice x³−7x+6 = 0 dostaneme:

  x1  x2  x3  L(x1,x2,x3)  L³(x1,x2,x3)
  ──────────────────────────────────────────
  1   2  −3   ( 3+5i√3)/2    3(−27+10i√3)
  1  −3   2   ( 3−5i√3)/2    3(−27+10i√3)
  2   1  −3   ( 6+4i√3)/2    3(−27+10i√3)
  2  −3   1   ( 6−4i√3)/2    3(−27+10i√3)
 −3   1   2   (−9− i√3)/2    3(−27+10i√3)
 −3   2   1   (−9+ i√3)/2    3(−27+10i√3)

Norma (viz Komplexní čísla) každého z těchto čísel je 21.Lagrangeovy práce o rovnicích inspirovaly P.Ruffiniho, Abela i Galoise.

Funkce s omezeným počtem hodnot

Některé funkce kořenů nemění hodnotu při libolné permutaci kořenů nebo vrací jen určitý omezený počet hodnot.

Alternující polynomy

Polynom, který po přečíslování podle libovolné permutace jen změní znaménko se nazývá alternující (znaménko-měnící) polynom. U těchto polynomů mění znaménko jedině liché permutace, sudé permutace nechávají polynom beze změn.

Např. následující funkce dávají jen dvě hodnoty lišící se znaménkem:

Polynom (x₁−x₂) má 2!=2 permutace: (x₂−x₁)=−(x₁−x₂), polynom (x₁−x₂)(x₁−x3)(x₂−x3) 3!=6 permutací:

    pi  u   (123)   Parita  Alternující polynom
    ──────────────────────────────────────────────────
    p0  1   (123)   S    (x1−x2)(x1−x3)(x2−x3)  =  A
    p1  2   (312)   S    (x3−x1)(x3−x2)(x1−x2)  =  A
    p2  4   (231)   S    (x2−x3)(x2−x1)(x3−x1)  =  A
    p3  3   (132)   L    (x1−x3)(x1−x2)(x3−x2)  = −A
    p4  6   (321)   L    (x3−x2)(x3−x1)(x2−x1)  = −A
    p5  5   (213)   L    (x2−x1)(x2−x3)(x1−x3)  = −A

Alternující je obecně každý polynom tvaru:

 δ = ∏(x_r−x_s), r <s 

Alternující grupa

Prvky alternující grupy jsou všechny sudé permutace.

 A(3)
 Permutace         Cykly a řád     Délky   Parita      Typ a indikátor
 ──────────────────────────────────────────────────────────
 p0     123  (1)(2)(3)   1 1 1   even (+)    (3,0,0)    123   1   x1³
 ───────────────────────────────────────────────────────────
 p2     123   (1,2,3)    3       even (+)    (0,0,1)    231   3   x31
 ───────────────────────────────────────────────────────────
 p4     123   (1,3,2)    3       even (+)    (0,0,1)    312   3   x31

Alternující grupa A_n je podgrupa permutační grupy P_n, má ve srovnání s permutační grupou poloviční řád:

   Hodnoty u   Permutace
    1 2 4      p0 p2 p4
    2 4 1      p2 p4 p0
    4 1 2      p4 p0 p2

Funkce neměnící hodnotu

Při řešení kvadratické rovnice používáme tzv. diskriminantu. Diskriminant D je hodnota společná všem kořenům. Bývá definován

 D = (δ)² 

(viz Alternující polynomy).

Kleinova grupa

Vraťme se k prvnímu z latinských čtverců 4-tého řádu R4(a):

    1  2  3  4       1  i  j  k                
    2  1  4  3       i  1  k  j
    3  4  1  2       j  k  1  i
    4  3  2  1       k  j  i  1

Odpovídající grupa se nazývá Kleinova. Jedná se o podgrupu permutační grupy P4 a také alternující grupy A4 (což umožňuje řešitelnost algebraických rovnic 4-tého stupně).

Grupa je necyklická a komutativní (platí ij=ji=k, i²=j²=k² = ijk= 1).

Kleinovu grupu vytváří např.zákrytové operace s obdélníkem

 (1-identita,2-vertikální osa,3-horizontální osa,4- rotace o 180°).

Permutace  Cykly a řád   Délky    Parita    Typ a indikátor     
──────────────────────────────────────────────────────────
 p1    1234    (1)(2)(3)(4)  1 1 1 1  sudá (+)    (4,0,0)
       1234     1     x14  
──────────────────────────────────────────────────────────
 p2    1234    (1,3)(2,4)    2 2      sudá (+)    (0,2,0)
       3412     2     x2²
──────────────────────────────────────────────────────────
 p3    1234    (1,2)(3,4)    2 2      sudá (+)    (0,2,0)
       2143     2     x2²
──────────────────────────────────────────────────────────
 p4    1234    (1,4)(2,3)    2 2      sudá (+)    (0,2,0)
       4321     2     x2² 

Kopie komplexního čísla

Uvažujme funkci f v oboru reálných čísel, která pro každé číslo rεR vrátí jeho identickou kopii: f(r) = r. Pak bude zřejmě platit vztah (izomorfizmus), který jsme výše definovali pro kopie:

 f(a∙b) = f(a)∙f(b) 

Co se stane, pokusíme-li se vytvořit obdobnou funkci v oboru komplexních čísel? Protože f(−1) = −1 musí být také f(i²)=f(i∙i)=f(i)∙f(i)=−1 a tedy f(i) = ±√−1 = ±i.
V tomto smyslu pak kopií čísla a+bi není jen a+bi ale také a−bi, tj. číslo komplexně sdružené.

(Relace komplexního sdružení patří mezi automorfismy studované v Galoisově teorii řešitelnosti algebraických rovnic.)

Galoisova grupa rovnice

Galois, inspirovaný pracemi Lagrange a Gausse, přiřadil každé rovnici všechny permutace kořenů, které nemění hodnoty určitých polynomů. 

Rovnice x⁴−10x²+1= 0, tj. (x²−5)²−24 = 0, má kořeny:   x₁=+√2+√3,   x₂=+√2−√3,   x₃=−√2+√3,   x₄=−√2−√3. 

Sestavíme tabulku pro součiny kořenů:

     │   x1       x2      x3      x4          │ x1 x2 x3 x4
  ───┼───────────────────────────────      ───┼───────────
  x1 │  +5+2√6     −1      +1  −5−2√6      x1 │ 1  2  3  4
  x2 │  −1     +5−2√6  −5+2√6      +1      x2 │ 2  1  4  3
  x3 │  +1     −5+2√6  +5−2√6      −1      x3 │ 3  4  1  2
  x4 │  −5−2√6     +1      −1  +5+2√6      x4 │ 4  3  2  1 

Při označení 1:+5±2√6  2:−1   3:+1  4:−5±2√6  odpovídá tabulka Kleinově grupě.

Rozklad grupy na třídy

V permutační nekomutativní grupě řádu 6:

 1 2 4  3 6 5
 2 4 1  6 5 3
 4 1 2  5 3 6
 3 5 6  1 4 2
 6 3 5  2 1 4
 5 6 3  4 2 1

existují čtyři podgrupy:

    1 3   1 6   1 5   1 2 4
    3 1   6 1   5 1   2 4 1
                      4 1 2

  Levé třídy    Pravé třídy
 ──────────────────────────── 
 1*{1,6}={1,6}  {1,6}={1,6}*1 
 6*{1,6}={1,6}  {1,6}={1,6}*6 
 2*{1,6}={2,5}  {2,3}={1,6}*2 
 5*{1,6}={2,5}  {4,5}={1,6}*5 
 3*{1,6}={3,4}  {2,3}={1,6}*3 
 4*{1,6}={3,4}  {4,5}={1,6}*4 

Součinem každého prvku grupy s prvky jedné určité podgrupy dostaneme tzv. rozklad grupy podle podgrupy. Podle násobení zleva nebo zprava rozlišujeme levé a pravé třídy. Prvky, které patří do téže třídy se nazývají konjugované. Např. podle podgrupy {1,6} dostaneme:  levé třídy {1,6},{2,5},{3,4} a pravé třídy {1,6},{2,3},{4,5}:

Počet levých tříd je vždy stejný jako počet pravých tříd a počet (konjugovaných) prvků

ve třídách je dělitelem řádu konečné grupy (Lagrangeova věta).

Normální podgrupy

Podgrupa je normální (invariantní) podgrupou jen tehdy, jsou-li příslušné levé a pravé třídy rozkladu stejné.

V komutativních grupách jsou všechny podgrupy normální. Např. v komutativní grupě

1 2 4   3 6 5       
2 4 1   6 5 3       
4 1 2   5 3 6       
3 6 5   2 4 1       
6 5 3   4 1 2       
5 3 6   1 2 4 

se levé a pravé třídy z rozkladu podle podgrupy {1,6} neliší:

 1*{1,6} = {1,6} = {1,6}*1 
 6*{1,6} = {1,6} = {1,6}*6 
 2*{1,6} = {2,5} = {1,6}*2 
 5*{1,6} = {2,5} = {1,6}*5 
 3*{1,6} = {3,4} = {1,6}*3 
 4*{1,6} = {3,4} = {1,6}*4

Normální podgrupu neovlivňuje směr operace s jinými prvky. Např. operace posunu tvoří normální podgrupu grupy pohybu, zatímco otočení nikoliv:

        otočení +  posun   − otočení = posun
        posun   +  otočení − posun   = ?

Vyčlenění normálních podgrup je důležité především pro nekomutativní grupy. Libovolná komutativní (Abelova) grupa je řešitelná.

Normální podgrupa N grupy G komutuje s libovolnou podgrupou A grupy G, tj. A∙N = N∙A.
Analogií normální podgrupy ve strukturách s více operacemi je tzv. ideál.

Jednoduchá grupa

Jednoduchá grupa nemá žádné netriviální normální podgrupy. Takovou je např. každá cyklická grupa prvočíselného řádu.

Rovnice vyšších stupňů

Rozpis mocninných součtů

Označme o₂(x) = x+y = e₁ o₂(x∙y) = x∙y = e₂. Pro F(k) = o₂(x^k) = x^k+y^k platí

  k  o2(xk)    f(e1,e2)
 ──────────────────────────────────────
  1   x1+y1 = e1
  2   x²+y² = e1²−2e2
  3   x³+y³ = e1³−3e1e2
  4   x4+y4= e14−4e1²e2+2e2²
     ....
  7   x7+y7= e17−7e15e2+14e1³e2²−7e1e2³     

Platí rekurentní vztah:

 F(k) = e₁∙F(k−1) − e₂∙F(k−2) 

např. F(3) = x³+y³ = e₁∙(e₁²−2e₂) − q∙e₁ = e₁³−3e₁e₂

Koeficienty Waringovy formule

E.Waring sestavil vzorec pro přímé vyjádření mocninných součtů s_n(k) pomocí elementárních funkcí. Všimneme si jen koeficientů výrazů, které jsou výsledkem Waringovy formule.

     2    2    2    2    2    2 
  1    3    5    7    9    11    13 
     1    4    9   16   25    36    49 
       1    5   14   30    55    91 ... 
          1    6   20   50   105   196 .. 
            1    7   27    77   182   378 
               1    8   35   112   294 ... 
                 1    9    44   156 ... 
                    1   10    54   210 ... 
                      1    11    65 ... 
                         1    12    77 ...

Zapišme konstantní posloupnost a0(i)=2 a z ní postupně, počínaje v každém řádku jedničkou odvozujme součtové posloupnosti (viz posloupnosti) :

V tomto schematu čteme po sloupcích od spodu čísla. To jsou (až na znaménko, které změníme u členů na sudé pozici) koeficienty výrazů Waringovy formule.

Např. ve sloupci nad sedmou jedničkou čteme postupně 1,7,14,7. Podle toho platí (vztah z předchozího odstavce) :   x⁷+y⁷ = e₁⁷−7e₁⁵e₂+14e₁³e₂²−7e₁e₂³

Součty více proměnných

Pomocí Waringovy formule je možné vyčíslit i mocninné součty více proměnných (x^k+y^k+z^k+..) [Kuffner].
Např. pro x₁+x₂+x₃ = e₁, x₁∙x₂+x₁∙x₃+x₂∙x₃ = e₂ a x₁∙x₂∙x₃ = e₃ platí: x₁³+x₂³+x₃³ = e₁³−3e₁e₂+3e₃.

Ověřme tento vztah. Po odečtení    e₁³−3e₁e₂ = (x₁+x₂+x₃)³ − 3∙(x₁+x₂)∙x₁∙x₂ ...

vypadnou z rozpisu (x₁+x₂+x₃)³ členy      3(x₁x₂²+x₁x₃²+x₂x₃²+x₁²x₂+x₁²x₃+x²x₃)

a zůstane: x₁³+x₂³+x₃³−3x₁x₂x₃, kde 3x₁x₂x₃ = 3e₃.

Nealgebraická řešení rovnic

Neexistence algebraického řešení nevypovídá nic o funkčnosti jiných možných metod řešení algebraických rovnic.

Nabízí se otázka: není možné ještě jiné, jednodušší algebraické řešení, než pomocí  eliptických funkcí?

Existuje nějaká další operace (vedle určených pěti - sčítání/odčítání, násobení/dělení a odmocňování), kterou by bylo možné považovat za algebraickou a

které by bylo možné k řešení využít?