Řešitelnost algebraických rovnic

Polynomy

Polynomy jedné proměnné

Výraz tvaru f(x)=[a,b,c,...]x = a∙xk+ b∙xk−1+ c∙xk−2+ ...+p∙x +q se nazývá polynom (mnohočlen) k-tého stupně jedné proměnné (neurčité) x. Čísla a,b,c.. jsou koeficienty polynomu. Připustíme-li, aby hodnoty a,b,c.. i x byly z libovolného číselného oboru, rozšíří se dosud uvažované (číselné) výrazy (viz kapitola 1) o další. Vedle [2,4,3]x = 2x²+4x+3 můžeme psát i např. [2,−4,3]x = 2x²−4x+3. (Tohoto způsobu se dnes u čísel neužívá; částečně byl obsažen v římském zápisu čísel, např. IV = 5−1=4. Římský způsob numerace byl používan již v Egyptě).

Polynomy více proměnných

K získání součinu f(x)∙g(x) je potřebné každý člen f(x) násobit s každým členem g(x) (stejně se násobí i čísla v číselné soustavě se základem x).
Dva polynomy s různými proměnnými f(x) a g(y) (stejně jako dvě čísla zapsaná při různých základech x a y) můžeme také násobit.
Pro f(x)= 2x²+4x+3 a g(y) = y²+3y+2 je:

 f(x)∙g(y)│  y²    3y    2
 ─────────┼──────────────────
   2x²    │ 2x²y²  6x²y  4x²
   4x     │ 4xy²  12xy  8x
   3      │ 3y²    9y   6

  h(x,y) = f(x)∙g(y) =
= 2x²y²+ 6x²y+ 4x²+ 4xy²+ 12xy+ 8x+ 3y²+ 9y+ 6

Výraz h(x,y) se nazývá polynom dvou proměnných x,y.

Rovnost polynomů

Abel, Niels Henrik
Abel, Niels Henrik , 1802-1829, norský matematik, autor prvního důkazu, že obecná rovnice 5.stupně není algebraicky řešitelná pomocí konečných vzorců s odmocninami (r.1824). Zabýval se algebrou, pracoval na teorii eliptických a transcendentních funkcí. Objevil metodu zrychlení konvergence nekonečných řad, rozvinul teorii integrálního počtu, dokázal binomickou větu.

Uvažujme dva polynomy P(x) a R(x). Polynomy se algebraicky rovnají, když se rovnají všechny jejich koeficienty. Když se rovnají jejich hodnoty, říkáme, že se polynomy rovnají funkčně.
V oborech s konečným počtem prvků může nastat případ, kdy dva polynomy s různými koeficienty dávají (pro všechna možná x) stejné hodnoty: V oboru Z3 (x=0,1,2) se algebraicky různé polynomy P(x)=x4−1 a Q(x)=x4+x³−x−1 funkčně rovnají, protože dávají pro všechna x stejné hodnoty.

Primitivní polynomy

Polynom, jehož koeficienty nemají společného dělitele většího než 1, tj. (an,an−1,....a1,a0)=1, se nazývá primitivní polynom.

Když f a g jsou primitivní polynomy, pak f∙g je také primitivní polynom.
Např. (3x²+4x+5)(2x+3) = 6x³+14x²+22x+15, kde (6,14,22,15) = ((6,14),(22,15)) = (2,1) = 1.

Algebraické rovnice

Algebraická rovnice

Výraz tvaru F(x)=0, kde F(x)=[a,b,c,...]x je polynom k-tého stupně jedné proměnné x, se nazývá algebraická rovnice k-tého stupně. Řešit algebraickou rovnici znamená najít k daným koeficientům a,b,c,.. takové hodnoty x, aby platilo F(x)=0. Rovnice může mít obecně více řešení.

Řešení x1,x2,.. se nazývají kořeny algebraické rovnice. Řešení rovnice F(x)=0 je ekvivalentní s hledáním dělitelů polynomu F(x).

Rovnice, které nejsou algebraické (např. rovnice exponenciální, logaritmické, goniometrické, ...) se nazývají transcendentní .

Cantor, Georg Ferdinand
Cantor, Georg Ferdinand [kantor], 1845-1918, německý matematik. Zabýval se teorií čísel a teorií funkcí. Výzkum konvergence řad a zobrazení čísel jej zavedl k množinám. Definoval základní pojmy teorie množin (r.1874), nekonečné množiny rozdělil na spočetné (celá, racionální, algebraická čísla) a nespočetné (reálná čísla), množinám přiřadil tzv. kardinální čísla. Matematicky formuloval pojem nekonečna a dokázal existenci tzv. transcendentních čísel. Vytvořil první ucelený přehled transcendentních množin a čísel. Vyslovil tzv. hypotézu kontinua.
Algebraické řešení

Algebraické řešení rovnice vyžaduje najít postup za užití konečného počtu 5-ti operací (+,−,∙,/,√), resp. 4 základních operací (+,−,∙,/) a řešení binomických rovnic tvaru xk=a.

Algebraické řešení algebraických rovnic (jak dokázali N.H.Abel a E.Galois) pro některé rovnice 5-tého stupně (např. x5 −10x +2 = 0) a vyšších stupňů neexistuje.

Algebraické prvky

Mějme výraz P(x) = a(n)xn+...+a(2)x²+a(1)x1+a(0),

kde x je z nějakého (definičního) oboru D. Když hodnota P(x) nepatří ani pro jedno x do D, nazývá se prvek x transcendentní .
V opačném případě (tj. když alespoň jeden výsledek do oboru D patří) říkáme, že prvek x je algebraický .

Doplněním m transcendentních prvků (x,y,...) dostáváme polynom o m neznámých.

Existuje-li mezi neznámými nějaký vztah (např. y=x²,..), říkáme, že jsou transcendentní prvky algebraicky závislé . Algebraicky nezávislé transcendentní prvky se nazývají neurčité.

Kořeny algebraické rovnice

Řešení kvadratické rovnice

    x1+x2 = e1 
    x1-x2 = √(e12 - 4e2) = √D

Při řešení kvadratické rovnice se využívá vztahu: (x1+x2)² − 4x1x2 = (x1−x2)². Z (x1+x2)² = e1² a (x1−x2)² = e1² − 4e2 = D, kde D je tzv. diskriminant, plynou dvě lineární rovnice a z nich přímo řešení x1 a x2.

Ve vyjádření s koeficienty rovnice závisí diskriminant D = b²−4ac stejnou měrou na koeficientu a i koeficientu c.
Proto např. rovnice x²−5x+6=0 i 6x²−5x+1=0 mají stejný diskriminant.

Vnitřní substituce

Substituce využívá k zjednodušení daného výrazu obvykle jiného výrazu, např. rovnice x4+x²+1 = 0 se řeší pomocí funkce y=x². Substituovat je možné i tentýž výraz do sebe sama. Např. rovnici x²−x−1 = 0 je možné přepsat na x=1+1/x a pak za x postupně na pravou stranu dosazovat. Tím se řešení rovnice převede na tzv.řetězový zlomek.   x = 1+ 1/x  =>  x = (1+1/(1+1/x)) 

Viéte, Francois
Viéte, Francois , 1540-1603, francouzský matematik. Zabýval se problémy proporcí, ekvivalentními s řešením rovnic. Místo obvyklých číselných koeficientů začal používat písmena. V rovnicích odlišil známé a neznámé veličiny a požadoval homogenitu dimenzí. Řešil některé případy kubických rovnic a všiml si, že kubické rovnice souvisí s problémem trisekce úhlu. Užitím základních trigonometrických funkcí řešil rovinné i sférické trojúhelníky. Zavedl trigonometrický tvar Cardanových vzorců. Číslo π vyjádřil součtem nekonečné řady.

=> x = (1+1/(1+1/(1+1/x)))  => ... x=(1+√5)/2

Viétovy vzorce

Při řešení kvadratické rovnice ax²+bx+c=0

 (resp. x²+px+q=0) se ukazuje, že koeficienty rovnice můžeme zapsat pomocí kořenů x1 a x2.

Platí   a(x−x1)∙(x−x2) = ax²−a(x1+x2)x+a(x1∙x2)= 0  resp. (x−x1)∙(x−x2) = x²−(x1+x2)x+(x1∙x2)   = 0

A Vietovy vzorce:   (x1+x2) = −b/a = −p,      (x1∙x2) = c/a = q.

Postavení kořenů x1 a x2 je symetrické. Záměna kořenů nic nezmění na daných koeficientech, tj. koeficienty jsou symetrickými funkcemi kořenů. Levé strany vzorců tvoří orbitální polynomy:  o2(x1)   = x1+x2=−p = e1      o2(x1∙x2)= x1∙x2= q = e2

Zde je důležité si povšimnout, že pokud jsou koeficienty p,q z číselného oboru T a kořeny z oboru U, musí U v sobě obsahovat T (tj. U je nadmnožinou T, včetně možnosti U=T). To platí obecně - pro rovnice všech stupňů.

D'Alembert, Jean-Baptiste
D'Alembert, Jean-Baptiste Le Rond [dalambér], 1717-1783, francouzský matematik, fyzik, přírodovědec a osvícenecký filozof. Zabýval se mechanikou, teorií gravitace, pohybem planet, hudební teorií. Evropský věhlas získal svým pojednáním o dynamice. Později psal převážně filozofická díla (v duchu ateismu a determinismu). Vypracoval nástin dějin vzniku a vývoje poznání, byl spoluvydavatelem Encyklopedie. Usiloval o důkaz základní věty algebry.
Řešení převrácené rovnice

Rovnici a0xk + a1xk−1+...+ak−1x+ak = 0 nazveme vzhledem k základní rovnici akxk + ak−1xk−1+...+a1x+a0 = 0 rovnicí převrácenou . Je−li xj jedno řešení základní rovnice, pak odpovídající řešení převrácené rovnice je 1/xj.
Např. rovnice x²−5x+6=0 má kořeny x1=2, x2=3 a 6x²−5x+1=0 má kořeny x1=1/2, x2=1/3.
Nebo např. v lineární rovnici 2x−3=0 je x=3/2, zatímco −3x+2=0 pro x=2/3.

Odtud plyne, že rovnice která je symetrická (viz Reciproké rovnice), musí mít zároveň s kořenem x i kořen 1/x.

Reciproké rovnice

Reciproká rovnice je rovnice tvořená polynomem, ve kterém mají symetrické koeficienty stejnou hodnotu, např.

 5x4 +7x³ +4x² +7x +5 = 0  nebo  x4 −7x³ +4x² −7x +5 = 0

Záporně reciproká je rovnice tehdy, když symetrické koeficienty mají opačnou hodnotu, např.

 5x4 −7x³ +7x −5 = 0

Prostřední člen může být u reciproké rovnice libovolný, u záporně reciproké rovnice musí být nulový.

Má-li reciproká rovnice kořen x1, má také kořen 1/x1.
Reciproké rovnice jsou algebraicky řešitelné až do stupně k=9 (včetně). Záporně reciproké rovnice mají navíc vždy ještě kořen (x−1), tedy jsou řešitelné do stupně k=10.

Základní věta algebry

Každá algebraická rovnice P(x)=0, kde P(x) je polynom stupně k,má v oboru komplexních čísel alespoň jeden kořen. Je-li tímto kořenem x*, pak P(x) je dělitelné výrazem (x−x*). Odtud plyne, že algebraická rovnice P(x)=0 k-tého stupně má v oboru komplexních čísel vždy právě k kořenů (se započítáním násobnosti). Základní větu algebry dokázal K.F.Gauss. Důkaz přispěl k uznání komplexních čísel. Věta zaručuje existenci řešení, ale neurčuje, jak řešení najít.

Úskalí řešení

Ferro, Scipione Del
Ferro, Scipione Del , -1526, italský matematik, první známý řešitel kubické rovnice.

Kubická rovnice

V kubické rovnici x³+px²+qx+r=0 platí pro kořeny x1,x2,x3:  o3(x1) = x1+x2+x3  = −p  = e1  o3(x1∙x2) = x1∙x2+x1∙x3+x2∙x3 =  q  = e2  o3(x1∙x2∙x3) = x1∙x2∙x3   = −r  = e3

Rovnice se obvykle převádí nejprve na redukovaný tvar , ve kterém p=0. Podle hodnot q a r je možné rozlišit tři typy rovnic: 1/ q>0,r<0, 2/ q<0,r>0 3/ q<0,r<0.

Příklad

Uvažujme  kubickou rovnici x³−7x+6 = 0, tedy p=0, q=−7, r=6.

Tartaglia, Niccolo
Tartaglia, Niccolo , 1500-1557, italský matematik, vyřešil (r.1535) nezávisle na S.de Ferro obecný případ kubické rovnice. Zabýval se překladem Euklidových děl.

Platí:

    x1+x2+x3   =  0
    x1∙x2+x1∙x3+x2∙x3 = −7
    x1∙x2∙x3   = −6

K řešení se nabízí:

odhadnout jeden z kořenů x1=1, polynom x³−7x+6 vydělit x−1 a z kvadratické rovnice dopočítat další dva kořeny při vědomí, že kořeny jsou celočíselné, využít rozkladu čísla −6 (tj.x1x2x3) a vybrat zkusmo vhodná čísla z možností ±1,±2 a ±3. narýsovat kubickou parabolu f(x)=x³ a najít její průsečíky s přímkou g(x)=7x−6.

Rovnice má řešení x1=1, x2=2, x3=−3. Získat tato řešení v obecném případě není ale nijak jednoduché.

Symetrie

Z rovnice x1+x2+x3 = 0 vyjádříme jeden z kořenů a dosadíme do zbývajících dvou rovnic. Vždy dostaneme stejné tvary rovnic: Vyjádření x3  Vyjádření x2   Vyjádření x1     x1² + x1x2 + x2²= 7   x1² + x1x3 + x3²= 7    x2² + x2x3 + x3²= 7 x1²x2 + x1x2²   = 6   x1²x3 + x1x3²   = 6    x2²x3 + x2x3²   = 6

Jak ale z těchto rovnic získat řešení není stále zřejmé. Nepomůže ani substituce orbitálních polynomů x1+x2=u, x1x2=v, která nás přes vztahy u²−v = 7, uv= 6 jen vrátí k původní rovnici.

Cardanovy vzorce

Italským matematikům (S.Ferro, N.Tartaglia,..) se podařilo odhalit obecný vzorec pro řešení kubické rovnice. Řešení (v redukovaném případě p=0) vzniká kombinací hodnot u1 a u2, kde:

  u1,2 = 3√(−r/2±√D), kde D=(r/2)² +(q/3)³ 

Nejjednoduší řešení má tvar x1=u1 + u2.

Cardano Girolomo
Cardano Girolomo [kardano], 1501-1576, italský matematik, lékař a astrolog. Publikoval (r.1545) jako první (Tartagliovo) řešení kubické rovnice a (Ferrariho) řešení bikvadratické rovnice.

Když má ale rovnice tři reálné kořeny, je  výsledek těžko použitelný. V našem příkladě je D = 3² +(−7/3)³ = −100/27 a   u1,2 = 3√(−3±10i/3√3).

Tento případ býval nazýván "casus irreducibilis" a nebyl dále řešen. K zprůhlednění nepomohla ani teorie imaginárních čísel vypracovaná matematikem R.Bombellim (r.1572).

Rovnice s reálnými kořeny se v tomto případě řeší goniometricky, hledá se úhel φ, pro který cosφ=−9√3/7√7.

Casus irreducibilis

Podívejme se podrobněji na případ x³ -15x -4 = 0. Z Cardanových vzorců vyjde řešení ve tvaru:

Odmocnit komplexní čísla přitom jednoduše nelze.
V našem příkladě víme, že: (2 + i)³ = 2 + 11i   a obecně pro řešení (f, g) = f + gi výrazu (r, s) = r + si platí (f + gi) ³ = r + si, tedy:

  f³ - 3fg² = r     (1) a

  g³ - 3gf² = -s.    (2)

Substituce jedné rovnice do druhé však - po několika nutných úpravách - vede opět k (původnímu) neřešitelnému tvaru...

Nabízí se ještě jedna možnost. Podívejme se na příklady některých řešení (f, g) ← (r, s):

 
 (1,1) ← (-2,-2),  (1,2) ← (-11,2),   (1,3) ← (-26,18), (1,4) ← (-47,52), (1,5) ← (-74,110), ... 
 (2,1) ← (2,-11),  (2,2) ← (-16,-16), (2,3) ← (-46,9),  (2,4) ← (-88,16), (2,5) ← (-142,65), ... 
    ...

Norma řešení |f + gi| = f² + g² je vždy třetí odmocninou normy |r + si| = r² + s² .
Např. N(1,3) = 1 + 9 = 10 a N(-26,18) = 676 + 324 = 1000 = 10² Tedy dostáváme ještě jeden vztah:

  N(f,g) = f² + g² = ³√(r² + s²) = ³√N(r,s)   (3)

Ani tato třetí rovnice (která umísťuje kořeny řešení na elipsu s rovnicí f² + g² = C (=³√N(r,s)) nepomůže.
Substitucí do rovnic (1) a (2) dostaneme 4f³ - 15f - 2 =0; a 4g³ - 15g + 11 =0; a to jsou opět (původní) neřešitelné tvary rovnic...!?

Goniometrické řešení

Mezi goniometrickými funkcemi existují vztahy, které je možné substitucí převést na algebraické rovnice (viz Čebyševovy polynomy). Např. cos(3u) = 4cos³(u)−3cos(u), tj. 4cos³(t/3)−3cos(t/3)−cos(t) = 0 pro dané c=cos(t) a neznámou x=cos(t/3) dává 4x³−3x−c = 0. Odtud (z druhé strany) usoudíme, že kubickou rovnici 4x³−3x−c = 0 je možné snadno řešit goniometricky. Rovnice třetího stupně nemá ale reprezentaci v rovině, není možná tzv. trisekce úhlu.

Descartes, René
Descartes, René du Perron [dekart] (latinsky Renatus Cartesius), 1596-1650, francouzský filozof a matematik, zakladatel analytické geometrie. Definoval pojem rovnice křivky a povýšil aritmetiku a algebru nad geometrii. Zavedl dodnes používanou symboliku pro zápis polynomů, formuloval základní větu algebry. Odmocniny ze záporných čísel nazval "imaginárními čísly". Navrhl metodu poznání založenou na pochybování. Zabýval se také fyzikou, optikou, meteorologií a hudební teorií.

Odhad počtu kořenů

Podle Descartovy věta má algebraická rovnice nejvýše tolik kladných kořenů, kolik obsahuje znaménkových změn, tj. kolikrát je
splněno a(j)∙a(j+1)<0 v rovnici
a(k)∙xk+...+a(2)∙x²+a(1)∙x+a(0)=0.
V závislosti na počtu těchto změn je také počet kladných kořenů sudý nebo lichý.

Znaménka koeficientů rovnic

Algebraické rovnice je výhodné zapisovat s měnícími se znaménky: (Přitom bychom měli také přeformulovat Descartovu větu,...)

    Obvyklý zápis        Přepis
    ────────────────────────────────────
    x²+px+q = 0;         x²−e1x+e2 = 0
    x³+px²+qx+r=0       x³−e1x²+e2x−e3 = 0
Lobačevskij, Nikolaj Ivanovič
Lobačevskij, Nikolaj Ivanovič, 1793-1856, ruský matematik, jeden ze zakladatelů neeuklidovské geometrie. Odvodil řešení některých do té doby neřešitelných integrálů. Usiloval o potvrzení své teorie astronomickými měřeními.

Rovnice s reálnými kořeny

Pokud má druhá mocnina dané rovnice střídající se znaménka, má daná rovnice jen reálné kořeny.
Např. protože (x³−7x)² = (−6)²

a x6−14x4+49x²−36 = 0 má střídavá znaménka, má rovnice x³−7x+6 = 0 jen reálné kořeny.
Rozhodnutí, zda jsou všechny kořeny reálné je potřebné např. v Graffově-Lobačevského metodě řešení algebraických rovnic.

Bikvadratická rovnice

A v bikvadratické rovnici x4+px³+qx²+rx+s=0 kořeny x1,x2,x3,x4 splňují:  o4(x1)   = x1+x2+x3+x4       = −p = e1  o4(x1∙x2)   = x1∙x2+x1∙x3+x1∙x4+x2∙x3+x2∙x4+x3∙x4 = q  = e2

Ferrari Ludovico
Ferrari Ludovico , 1522-1565, italský matematik, vyřešil obecný případ bikvadratické rovnice.

 o4(x1∙x2∙x3)    = x1∙x2∙x3+x1∙x2∙x4+x2∙x3∙x4   = −r = e3  o4(x1∙x2∙x3∙x4) = x1∙x2∙x3∙x4       = s  = e4

Ferrariho řešení spočívalo v převedení bikvadratické rovnice na kubickou.

Mocniny kořenů rovnic

Řešení rovnice n-tého stupně je ekvivalentní n-rovnicím pro součty mocnin kořenů (viz Koeficienty Waringovy formule:)

k=2:
  x1+x2  =  e1  = −p                    
  x1²+x2²  = e1²−2e2  =  p²−2q    
 ────────────────────────────────────────────
k=3:
  x1+x2+x3  =  e1  = −p                
  x1²+x2²+x3²  =  e1²−2e2  = p²−2q                
  x1³+x2³+x3³  =  e1³−3e1e2+3e3 =   −p³+3pq−3r

Permutace

Invariantní polynomy

Přečíslujeme-li indexy proměnných v polynomu f=f(t1,t2,t3...) podle určité permutace p získáme nový polynom f'(t1,t2,t3...). Permutace s cyklem [1,2] změní f(t1,t2)=t1³+t2 na f'(t1,t2)=t2³+t1. Má-li polynom nejvýše 3 proměnné budeme místo označení t1,t2,t3 používat obvyklé x,y,z: tedy f(x,y)=x³+y se změní na f'(x,y)=y³+x.

Polynom f je invariantní vzhledem k permutaci p, když f a f' jsou stejné, např. f(x,y)=f'(x,y)=x+y.

Grupa inerce polynomu

každý polynom je invariantní vzhledem k identické permutaci když je invariantní k permutacím p1 a p2, tak je invariantní i k složené permutaci p1∙p2 když je invariantní k p, tak je invariantní i k p−1.

Všechny permutace, které neovlivňují polynom, vytvářejí grupu, tzv.grupu inerce polynomu. Grupou inerce symetrických mnonočlenů je grupa všech permutací Sn.

Orbitální polynomy

Polynom, který je součtem všech permutací daného polynomu f nazýváme orbitální a značíme on(f). Každý orbitální polynom je invariantní vzhledem k libovolné permutaci.   o2(xy²) = xy² + yx²

Pro polynom f(t1,t2,t3,..) = t1k, nabývá orbitální polynom tvaru mocninného součtu: on(t1k) = t1k+t2k+t3k+.... = sn(k).       s3(x5) = x5 + y5 + z5

Rozpis orbitálních polynomů

Libovolný orbitální polynom on je možné zapsat pomocí mocninných polynomů sn. Např. z rozpisu součin s2(u)∙ s2(v) dostaneme:    s2(u)∙ s2(v) =(xu+yu)(xv+yv) = xu+v+ xu∙yv+ xv∙yu   = s2(u+v) + o2(xu,yv)

Tedy: o2(xu,yv) = s2(u)∙ s2(v) − s2(u+v).

Elementární symetrické polynomy

Orbitální polynomy on(t1),on(t1∙t2),on(t1∙t2∙t3),...se nazývají elementární symetrické polynomy .   o1(x) = x   o2(x) = x+y    o2(x∙y) = x∙y.   o3(x) = x+y+z  o3(x∙y) = x∙y+x∙z+y∙z  o3(x∙y∙z) = x∙y∙z

Každý symetrický polynom je možné sestavit z elementárních symetrických polynomů.

Zachování symetrie

Polynom f(t1,t2,..) se nazývá symetrický, když je invariantní vzhledem k libovolné permutaci. Obdobně funkce f(t1,t2,..) je symetrická, když její hodnota nezávisí na přeskupení argumentů t1,t2,...

Součet i součin dvou symetrických polynomů je také symetrický. Proto, když do nějakého polynomu f(t1,t2,t3,..) dosadíme za t1,t2,t3,... symetrické polynomy, je výsledný polynom také symetrický.
Např. do polynomu g(t1,t2)= 2t1²+3t2 dosadíme t1=x+y a t2=x∙y. Dostaneme:
  g(x+y,x∙y) = 2(x+y)²+3xy = 2x²+2y²+7xy

tj. symetrický polynom.

Sudosymetrické polynomy

Polynom je sudosymetrický, když je invariantní vzhledem k sudým permutacím. Sudosymetrické polynomy jsou buď symetrické nebo antisymetrické.
Např. x+y je symetrický (a tudíž i sudosymetrický), x−y je antisymetrický (je sudosymetrický a není symetrický).

Součiny symetrických (S) a antisymetrických (A) polynomů respektují při násobení následující tabulku:

      S   A        S∙S = S    (x+1)(x+1) = x²+2x+1
  ─────────        S∙A = A    (x+1)(x−1) = x²−1
  S   S   A        A∙S = A    (x−1)(x+1) = x²−1 
  A   A   S        A∙A = S    (x−1)(x−1) = x²−2x+1

Kopie struktury

Poincaré, Jules Henri
Poincaré, Jules Henri , 1854-1912, francouzský matematik a fyzik, výrazně přispěl k řešení problémů nebeské mechaniky, zvláště k problému pohybu tří a více těles. V matematice je známý svými výzkumy tzv. automorfních funkcí. Zabýval se celou řadou fyzikálních (relativita, termodynamika, rotační pohyb,...) i matematických (množiny, pravděpodobnost, topologie, řady,..) oborů.

Zobrazení, které přiřazuje určité struktuře jinou strukturu nazveme obecně deformace (morfizmus). Struktury mohou mít různý počet prvků i různé vnitřní složení.

Zvláštním případem průmětu je kopie (izomorfní zobrazení, izomorfizmus), kdy obě algebraické struktury mají stejný počet prvků i stejné vnitřním složení.

Např. grupa tvořená hodnotami f(x) je kopií grupy hodnot x:

    x        f(x)
    ────────────────────
    0 1 2    I R S
    1 2 0    R S I
    2 0 1    S I R

V takovém případě platí:

f(a∙b) = f(a)∙f(b)

Složení kopií je kopie.

Vztah násobení a sčítání

Tabulku T(r,∙), rεP je možné převést na T(φ(r),+). Přepišme např. T(5,∙) podle pravidla:  1→0,2→1,4→2,3→3 (tj. každou jedničku nahradíme nulou, dvojku jedničkou a čtyřku dvojkou, trojky ponecháme).

T(5,*):            T(4,+):
   * │ 1 2 3 4        + │ 0 1 3 2
   ──┼────────        ──┼────────
   1 │ 1 2 3 4        0 │ 0 1 3 2
   2 │ 2 4 1 3        1 │ 1 2 0 3
   3 │ 3 1 4 2        3 │ 3 0 2 1
   4 │ 4 3 2 1        2 │ 2 3 1 0
Nová tabulka je až na přeházení řádek a sloupců) tabulkou pro sčítání čísel (podle modulu 4). Protože T(5,∙) je grupa, je i T(4,+) grupa.

Stejným způsobem se chovají všechny tabulky pro rεP. Multiplikativní grupa řádu r a aditivní grupa řádu φ(r) jsou dvě kopie téže struktury.

Průmět struktury

Deformaci, která nenaruší operace zavedené v těchto strukturách, nazveme průmět (homomorfní zobrazení, homomorfizmus). Průmět struktury může mít jiný počet prvků než výchozí struktura. Průmětem je např. zobrazení celých čísel do množiny zbytkových tříd podle modulu r.   Z ───> Zr

Obor Z je nekonečný, zatímco obor Z7 tvoří 7 prvků (0,..,6). Pro r= 7 je:    V oboru Z   V oboru Z7    3+9= 12  ───> (3 mod 7)+(9 mod 7)= (12 mod 7)  tj. 3 + 2 = 5    3∙9= 27  ───> (3 mod 7)∙(9 mod 7)= (27 mod 7)  tj. 3 ∙ 2 = 6

Složení průmětů je průmět.

Struktura rovnic

Lagrangeovy rezolventy

Při řešení jakékoliv algebraické rovnice je nutné využít symetrie kořenů. Napodobit vztah (x1+x2)² − (x1−x2)² = 4x1x2, který umožňuje snadno řešit kvadratickou rovnici (viz Kvadratická rovnice) je ale obtížné. Např. rozdíl (x1+x2+x3)³ a některého výrazu (x1±x2±x3)³ obsahuje stále příliš mnoho členů.

Lagrange zkoumal výrazy tvaru:

L(x1,x2,x3) = x1 + αx2 + α²x3 ..

a ukázal, že (specielně v případě k=3) jejich k-tá mocnina dává pro všechny možné permutace kořenů jen 2 různé hodnoty. Výrazy L() se nazývají Lagrangeovy rezolventy. Jejich koeficienty jsou kořeny binomické rovnice a jsou tedy rovnoměrně rozestoupené na jednotkové kružnici.
V případě kubické rovnice je α = (−1+i√3)/2 (viz Binomická rovnice/ Základní kořen) a pro jednotlivé permutace rovnice x³−7x+6 = 0 dostaneme:

  x1  x2  x3  L(x1,x2,x3)  L³(x1,x2,x3)
  ──────────────────────────────────────────
  1   2  −3   ( 3+5i√3)/2    3(−27+10i√3)
  1  −3   2   ( 3−5i√3)/2    3(−27+10i√3)
  2   1  −3   ( 6+4i√3)/2    3(−27+10i√3)
  2  −3   1   ( 6−4i√3)/2    3(−27+10i√3)
 −3   1   2   (−9− i√3)/2    3(−27+10i√3)
 −3   2   1   (−9+ i√3)/2    3(−27+10i√3)
Ruffini, Paolo
Ruffini, Paolo , 1765-1822, italský matematik. Přijal imaginární čísla jako kořeny řešení rovnic (kvadratických, kubických i bikvadratických) a zpochybnil možnost existence řešení algebraických rovnic libovolného stupně pomocí základních operací.

Norma (viz Komplexní čísla) každého z těchto čísel je 21.Lagrangeovy práce o rovnicích inspirovaly P.Ruffiniho, Abela i Galoise.

Funkce s omezeným počtem hodnot

Některé funkce kořenů nemění hodnotu při libolné permutaci kořenů nebo vrací jen určitý omezený počet hodnot.

Alternující polynomy

Polynom, který po přečíslování podle libovolné permutace jen změní znaménko se nazývá alternující (znaménko-měnící) polynom. U těchto polynomů mění znaménko jedině liché permutace, sudé permutace nechávají polynom beze změn.

Např. následující funkce dávají jen dvě hodnoty lišící se znaménkem:

n=2: (x1−x2),(x2−x1) n=3: (x1−x2)(x1−x3)(x2−x3),(x1−x3)(x1−x2)(x3−x2),...

Polynom (x1−x2) má 2!=2 permutace: (x2−x1)=−(x1−x2), polynom (x1−x2)(x1−x3)(x2−x3) 3!=6 permutací:

    pi  u   (123)   Parita  Alternující polynom
    ──────────────────────────────────────────────────
    p0  1   (123)   S    (x1−x2)(x1−x3)(x2−x3)  =  A
    p1  2   (312)   S    (x3−x1)(x3−x2)(x1−x2)  =  A
    p2  4   (231)   S    (x2−x3)(x2−x1)(x3−x1)  =  A
    p3  3   (132)   L    (x1−x3)(x1−x2)(x3−x2)  = −A
    p4  6   (321)   L    (x3−x2)(x3−x1)(x2−x1)  = −A
    p5  5   (213)   L    (x2−x1)(x2−x3)(x1−x3)  = −A

Alternující je obecně každý polynom tvaru:

 δ = ∏(xr−xs), r <s 

Alternující grupa

Prvky alternující grupy jsou všechny sudé permutace.

 A(3)
 Permutace         Cykly a řád     Délky   Parita      Typ a indikátor
 ──────────────────────────────────────────────────────────
 p0     123  (1)(2)(3)   1 1 1   even (+)    (3,0,0)    123   1   x1³
 ───────────────────────────────────────────────────────────
 p2     123   (1,2,3)    3       even (+)    (0,0,1)    231   3   x31
 ───────────────────────────────────────────────────────────
 p4     123   (1,3,2)    3       even (+)    (0,0,1)    312   3   x31

Alternující grupa An je podgrupa permutační grupy Pn, má ve srovnání s permutační grupou poloviční řád:

   Hodnoty u   Permutace
    1 2 4      p0 p2 p4
    2 4 1      p2 p4 p0
    4 1 2      p4 p0 p2

Funkce neměnící hodnotu

Při řešení kvadratické rovnice používáme tzv. diskriminantu. Diskriminant D je hodnota společná všem kořenům. Bývá definován

 D = (δ)2 

(viz Alternující polynomy).

Kleinova grupa

Vraťme se k prvnímu z latinských čtverců 4-tého řádu R4(a):

Klein, Christian Felix
Klein, Christian Felix [klain], 1849-1925, německý matematik. Zabýval se teorií grup, teorií funkcí a topologií. Prosazoval jednotnou klasifikaci geometrie pomocí teorie grup, dokázal že různé geometrie (Euklidovské, hyperbolické, eliptické) jsou vzájemně konzistentní.
    1  2  3  4       1  i  j  k                
    2  1  4  3       i  1  k  j
    3  4  1  2       j  k  1  i
    4  3  2  1       k  j  i  1

Odpovídající grupa se nazývá Kleinova. Jedná se o podgrupu permutační grupy P4 a také alternující grupy A4 (což umožňuje řešitelnost algebraických rovnic 4-tého stupně).

Grupa je necyklická a komutativní (platí ij=ji=k, i²=j²=k² = ijk= 1).

Kleinovu grupu vytváří např.zákrytové operace s obdélníkem

 (1-identita,2-vertikální osa,3-horizontální osa,4- rotace o 180°).

Permutace  Cykly a řád   Délky    Parita    Typ a indikátor     
──────────────────────────────────────────────────────────
 p1    1234    (1)(2)(3)(4)  1 1 1 1  sudá (+)    (4,0,0)
       1234     1     x14  
──────────────────────────────────────────────────────────
 p2    1234    (1,3)(2,4)    2 2      sudá (+)    (0,2,0)
       3412     2     x2²
──────────────────────────────────────────────────────────
 p3    1234    (1,2)(3,4)    2 2      sudá (+)    (0,2,0)
       2143     2     x2²
──────────────────────────────────────────────────────────
 p4    1234    (1,4)(2,3)    2 2      sudá (+)    (0,2,0)
       4321     2     x2² 

Kopie komplexního čísla

Uvažujme funkci f v oboru reálných čísel, která pro každé číslo rεR vrátí jeho identickou kopii: f(r) = r. Pak bude zřejmě platit vztah (izomorfizmus), který jsme výše definovali pro kopie:

 f(a∙b) = f(a)∙f(b) 

Co se stane, pokusíme-li se vytvořit obdobnou funkci v oboru komplexních čísel? Protože f(−1) = −1 musí být také f(i²)=f(i∙i)=f(i)∙f(i)=−1 a tedy f(i) = ±√−1 = ±i.
V tomto smyslu pak kopií čísla a+bi není jen a+bi ale také a−bi, tj. číslo komplexně sdružené.

(Relace komplexního sdružení patří mezi automorfismy studované v Galoisově teorii řešitelnosti algebraických rovnic.)

Galois, Evariste
Galois, Evariste [galoa], 1811-1832, francouzský matematik. Zabýval se řešitelností algebraických rovnic, potvrdil nemožnost řešení určitých typů rovnic vyšších stupňů pomocí odmocnin. Definoval přesně za jakých okolností tradiční metody řešení rovnic fungují a kdy selhávají. Zavedl termín 'grupa', objevil normální podgrupy. Povšiml si, že řešení některých rovnic vyšších stupňů selhává právě tehdy, když neexistují jiné normální podgrupy než jednoduché. Jeho práce publikoval r.1846 J.Liouville.

Galoisova grupa rovnice

Galois, inspirovaný pracemi Lagrange a Gausse, přiřadil každé rovnici všechny permutace kořenů, které nemění hodnoty určitých polynomů. 

Rovnice x4−10x²+1= 0, tj. (x²−5)²−24 = 0, má kořeny:   x1=+√2+√3,   x2=+√2−√3,   x3=−√2+√3,   x4=−√2−√3. 

Sestavíme tabulku pro součiny kořenů:

     │   x1       x2      x3      x4          │ x1 x2 x3 x4
  ───┼───────────────────────────────      ───┼───────────
  x1 │  +5+2√6     −1      +1  −5−2√6      x1 │ 1  2  3  4
  x2 │  −1     +5−2√6  −5+2√6      +1      x2 │ 2  1  4  3
  x3 │  +1     −5+2√6  +5−2√6      −1      x3 │ 3  4  1  2
  x4 │  −5−2√6     +1      −1  +5+2√6      x4 │ 4  3  2  1 

Při označení 1:+5±2√6  2:−1   3:+1  4:−5±2√6  odpovídá tabulka Kleinově grupě.

Rozklad grupy na třídy

V permutační nekomutativní grupě řádu 6:

 1 2 4  3 6 5
 2 4 1  6 5 3
 4 1 2  5 3 6
 3 5 6  1 4 2
 6 3 5  2 1 4
 5 6 3  4 2 1

existují čtyři podgrupy:

    1 3   1 6   1 5   1 2 4
    3 1   6 1   5 1   2 4 1
                      4 1 2
  Levé třídy    Pravé třídy
 ──────────────────────────── 
 1*{1,6}={1,6}  {1,6}={1,6}*1 
 6*{1,6}={1,6}  {1,6}={1,6}*6 
 2*{1,6}={2,5}  {2,3}={1,6}*2 
 5*{1,6}={2,5}  {4,5}={1,6}*5 
 3*{1,6}={3,4}  {2,3}={1,6}*3 
 4*{1,6}={3,4}  {4,5}={1,6}*4 

Součinem každého prvku grupy s prvky jedné určité podgrupy dostaneme tzv. rozklad grupy podle podgrupy. Podle násobení zleva nebo zprava rozlišujeme levé a pravé třídy. Prvky, které patří do téže třídy se nazývají konjugované. Např. podle podgrupy {1,6} dostaneme:  levé třídy {1,6},{2,5},{3,4} a pravé třídy {1,6},{2,3},{4,5}:

Jordan, Camille
Jordan, Camille [žordan], 1838-1922, francouzský matematik. Vydal první soustavný výklad teorie grup a Galoisových myšlenek. Zabýval se také matematickou analýzou.

Počet levých tříd je vždy stejný jako počet pravých tříd a počet (konjugovaných) prvků

ve třídách je dělitelem řádu konečné grupy (Lagrangeova věta).

Normální podgrupy

Podgrupa je normální (invariantní) podgrupou jen tehdy, jsou-li příslušné levé a pravé třídy rozkladu stejné.

V komutativních grupách jsou všechny podgrupy normální. Např. v komutativní grupě

1 2 4   3 6 5       
2 4 1   6 5 3       
4 1 2   5 3 6       
3 6 5   2 4 1       
6 5 3   4 1 2       
5 3 6   1 2 4 

se levé a pravé třídy z rozkladu podle podgrupy {1,6} neliší:

 1*{1,6} = {1,6} = {1,6}*1 
 6*{1,6} = {1,6} = {1,6}*6 
 2*{1,6} = {2,5} = {1,6}*2 
 5*{1,6} = {2,5} = {1,6}*5 
 3*{1,6} = {3,4} = {1,6}*3 
 4*{1,6} = {3,4} = {1,6}*4

Normální podgrupu neovlivňuje směr operace s jinými prvky. Např. operace posunu tvoří normální podgrupu grupy pohybu, zatímco otočení nikoliv:

        otočení +  posun   − otočení = posun
        posun   +  otočení − posun   = ?

Vyčlenění normálních podgrup je důležité především pro nekomutativní grupy. Libovolná komutativní (Abelova) grupa je řešitelná.

Normální podgrupa N grupy G komutuje s libovolnou podgrupou A grupy G, tj. A∙N = N∙A.
Analogií normální podgrupy ve strukturách s více operacemi je tzv. ideál.

Jednoduchá grupa

Jednoduchá grupa nemá žádné netriviální normální podgrupy. Takovou je např. každá cyklická grupa prvočíselného řádu.

Rovnice vyšších stupňů

Rozpis mocninných součtů

Označme o2(x) = x+y = e1 o2(x∙y) = x∙y = e2. Pro F(k) = o2(xk) = xk+yk platí

  k  o2(xk)    f(e1,e2)
 ──────────────────────────────────────
  1   x1+y1 = e1
  2   x²+y² = e1²−2e2
  3   x³+y³ = e1³−3e1e2
  4   x4+y4= e14−4e1²e2+2e2²
     ....
  7   x7+y7= e17−7e15e2+14e1³e2²−7e1e2³     

Platí rekurentní vztah:

 F(k) = e1∙F(k−1) − e2∙F(k−2) 

např. F(3) = x³+y³ = e1∙(e1²−2e2) − q∙e1 = e1³−3e1e2

Koeficienty Waringovy formule

E.Waring sestavil vzorec pro přímé vyjádření mocninných součtů sn(k) pomocí elementárních funkcí. Všimneme si jen koeficientů výrazů, které jsou výsledkem Waringovy formule.

     2    2    2    2    2    2 
  1    3    5    7    9    11    13 
     1    4    9   16   25    36    49 
       1    5   14   30    55    91 ... 
          1    6   20   50   105   196 .. 
            1    7   27    77   182   378 
               1    8   35   112   294 ... 
                 1    9    44   156 ... 
                    1   10    54   210 ... 
                      1    11    65 ... 
                         1    12    77 ...

Zapišme konstantní posloupnost a0(i)=2 a z ní postupně, počínaje v každém řádku jedničkou odvozujme součtové posloupnosti (viz posloupnosti) :

Waring, Edward
Waring, Edward , 1734-1798, anglický matematik. Zabýval se teorií čísel, symetrickými funkcemi, algebraickými křivkami. Některými svými úvahami předjímal Galoisovu teorii. Jako první publikoval tzv. Goldbachovu domněnku.

V tomto schematu čteme po sloupcích od spodu čísla. To jsou (až na znaménko, které změníme u členů na sudé pozici) koeficienty výrazů Waringovy formule.

Např. ve sloupci nad sedmou jedničkou čteme postupně 1,7,14,7. Podle toho platí (vztah z předchozího odstavce) :   x7+y7 = e17−7e15e2+14e1³e2²−7e1e2³

Součty více proměnných

Hermite, Charles
Hermite, Charles [], 1822-1901, francouzský matematik. Zabýval se teorií komplexních čísel, interpolací, eliptickými funkcemi a řešením rovnic. Objasnil Steinerovu větu o nemožnosti nalezení středu kruhu jen pomocí pravítka. Dokázal, že číslo e je transcendentní, tj. není řešením žádné algebraické rovnice.

Pomocí Waringovy formule je možné vyčíslit i mocninné součty více proměnných (xk+yk+zk+..) [Kuffner].
Např. pro x1+x2+x3 = e1, x1∙x2+x1∙x3+x2∙x3 = e2 a x1∙x2∙x3 = e3 platí: x1³+x2³+x3³ = e1³−3e1e2+3e3.

Ověřme tento vztah. Po odečtení    e1³−3e1e2 = (x1+x2+x3)³ − 3∙(x1+x2)∙x1∙x2 ...

vypadnou z rozpisu (x1+x2+x3)³ členy      3(x1x2²+x1x3²+x2x3²+x1²x2+x1²x3+x²x3)

a zůstane: x1³+x2³+x3³−3x1x2x3, kde 3x1x2x3 = 3e3.

Nealgebraická řešení rovnic

Neexistence algebraického řešení nevypovídá nic o funkčnosti jiných možných metod řešení algebraických rovnic.

Pro kvadratickou i kubickou rovnici je k dispozici goniometrické řešení, to ale vyžaduje vyčíslení goniometrických funkcí (cos,sin,..). Přibližné metody řešení algebraických rovnic: Lagrangeova metoda (vyjádření reálných kořenů řetězovým zlomkem), Linova metoda (algoritmický rozklad mnohočlenu na součin), grafické metody,... Iterační metody upřesnění odhadovaných kořenů: metoda tětiv (regula falsi), Newtonova metoda tečen, metoda separace kořenů, kvadratická interpolace, apod. Ch.Hermite předvedl (r.1858) obecné řešení rovnic 5-tého stupně pomocí eliptických funkcí.

Nabízí se otázka: není možné ještě jiné, jednodušší algebraické řešení, než pomocí  eliptických funkcí?

Existuje nějaká další operace (vedle určených pěti - sčítání/odčítání, násobení/dělení a odmocňování), kterou by bylo možné považovat za algebraickou a

které by bylo možné k řešení využít?