Variační principy

Variační počet

Konfigurace těles ve Sluneční soustavě (přinejmenším těch, které zde pobývají dostatečně dlouhou dobu) nejsou a nemohou být náhodné. Nabízí se vysvětlení, že se veškerý pohyb děje tak, aby byla určitá (sumární) charakteristika extrémní.

Podle de Maupertuise příroda realizuje určitý účel a chová se tak, že jisté kvantity minimalizuje (tj. šetří). Je zde tedy něco navíc oproti obvyklému příčinnému chápání věcí.  Navrhl univerzální zákon přírody podle kterého se tělesa pohybují tak, že celková spotřeba jisté veličiny (tzv. "akce") je co nejmenší možná.

Tato myšlenka není nová - je základem variačního počtu, matematické disciplíny, která se používá k obecné formulaci fyzikálních úloh již od 17. století.
U zrodu variačního počtu stáli: ital Galileo Galilei (1564-1642) a francouz Pierre de Fermat (1601-1665).

• Galileo Galilei formuloval (r.1638) problém křivky nejrychlejšího pádu (tzv. brachistochrony). Dané dva body v gravitačním poli se mají spojit takovou křivkou, po které 'sklouzne' dolů hmotný bod v nejratším možném čase.

• Podle Pierre de Fermat paprsek světla se šíří mezi dvěma body po takové cestě, kterou světlo urazí v nejkratším čase. Tento princip vysvětluje zákon odrazu i zákon lomu světla.
  

Aplikace v astronomii

H.Poincaré zjistil, že rušící funkce v rezonančním gravitačním systému (průměrovaná s ohledem na kritický nebo rezonanční parametr) má lokální minimum.

Možnost postupného vzniku rezonančních konfigurací byla ukázána pomocí numerických integrací pohybu těles (Hills, 1970). K synchronizaci musí přitom podle některých analýz dojít i při působení velmi slabých sil mezi tělesy (A.M.Molčanov).

M.Ovenden, (?inspirován myšlenkami R.Basse z r.1958?), navrhl (před r.1972) funkci, jejíž extrém by se měl hledat - průměrnou potenciální energii. Tento tzv. Ovendenův princip minimální interakce se ale podařilo aplikovat jen na určité skupin těles (pro měsíce s Laplaceovou rezonancí,...).

• Astronom A.E.Roy věnoval svoji knihu (Orbital motion, r.1973) právě M.Ovendenovi a stručný nástin principu minimální interakce do ní zařadil.
• Caxton C.Foster (viz) se pokusil sestavit počítačový program, ověřující a demonstrující Ovendenův princip. V soustavě 3 těles postupně posouval dráhy, za dodržení zákona zachování energie a momentu hybnosti. Přitom hledal takové konfigurace, jejichž průměrná potenciální energie je minimální.

Akční funkce

Funkci, jejíž (průměrná) hodnota má nabývat extrému, nazveme akční funkcí.

    Cesta                     Hledisko      
    ------------------------------------------- 
    1/ Pěšky přes park      nejlevnější cesta
    2/ Autobusem            levná rychlá cesta
    3/ Taxikem              nejrychlejší cesta
    4/ Vrtulníkem           nejkratší cesta

Ovendenův princip je založen na předpokladu, že akční funkcí je potenciální energie. Pokusme se ověřit i jiné možnosti, např. funkce, v nichž figurují mocniny vzdálenosti  r_ij^k (k=2,3,1/2,...) nebo logaritmické funkce hmotností ln(m_i∙m_j) apod. Akční funkce (tj. obecně funkce f(m_i,m_j,r_ij))) značíme malým písmenem f().

Rozlišíme 3 varianty funkcí podle zacházení se vzdálenostmi:

·   Funkce závislé na vzdálenosti (lineárně, kvadraticky, obecnou mocninou,..)
Jsou-li r1 a r₂ vzdálenosti oběžnic P₁ a P₂ od centra S a φ₁₂ jejich úhlová vzdálenost v daném okamžiku, je aktuální vzdálenost:
r₁₂ = r(1,2) = sqrt(r₁²+r₂²-2r₁r₂ cos φ₁₂) (tj. kosinová věta v trojúhelníku SP₁P₂)

·   Funkce nezávislé na vzdálenosti ,
tj. funkce, jejichž hodnota se mění jen s úhlem φ₁₂=φ₁-φ₂, např. f() = m_i∙m_j/g(φ₁₂). V takovém případě ale musí funkce g() odstranit singularitu při konjunkci těles (tj. pro φ₁₂=0); např. g()=sin(φ₁₂/2),g()=1+cos(φ₁₂), apod.)

·   Funkce deformující vzdálenosti (logaritmicky,...)
Povšimneme-li si rozvrstvení hmoty v prostoru mezi Sluncem a Jupiterem, získáme dojem, že má-li mít Slunce i Jupiter vliv nepřímo úměrný vzdálenosti, nelze nijak zdůvodnit, proč jsou planety Venuše a Země tak blízko Slunci. Zdá se, že akční funkce pro Slunce se nějak musí lišit od akční funkce pro Jupiter. Nebo musíme použít jiné předpoklady k měření vzdálenosti ve Sluneční soustavě: Kdybychom například všechny vzdálenosti od centra nahradili jejich logaritmy, dostali bychom Venuši i Zemi - v číselném světě logaritmů - blíže k Jupiteru.

Závislost na hmotnosti - Lineární, logaritmická ...

Centrální těleso

Jakkoli se může zdá interakce jen věcí oběžnic, bude zřejmě nutné (přinejmenším v určitých případech) počítat akční funkce i pro vztah mezi centrálním tělesem a oběžnicí. Opačný případ totiž může vést k výsledku, kdy jako optimální konfigurace n těles se ukáže taková, která má n-1 těles v těsné blízkosti centrálního tělesa. (V případě, že centrální těleso vynecháme z výpočtů, chybí totiž 'síla', která by tělesa donutila zdržovat se od centra dále...)

Integrály akční funkcí

Zajímá nás součet všech hodnot akčních funkcí během určitého intervalu. Integrály akční funkcí (tj. funkcionály) budeme značit velkým písmenem F(), průměrné hodnoty akčních funkcí označíme (). Průměrnou hodnotu ‹f›() akční funkce f() získáme dělením integrálu F() šířkou intervalu integrování w (zpravidla w=2π): ‹f›()= ∫ f()/w = F()/w

Náhrada za integrály

Integrací akčních funkcí můžeme dostat obecně velmi složité funkce. K dalším výpočtům budeme proto užívat i některých jednodušších funkcí F(), které sice nevznikly integrací, ale jsou v jistém smyslu analogické se složitějšími funkcemi. Tyto náhradní funkce musí být (stejně tak jako integrály) symetrické vzhledem k odpovídajícím si proměnným jednotlivých oběžnic.
Např. funkce F=1/|r₁^k-r₂ ^k | je symetrická vzhledem k r₁ a r₂, kεR.

Optimální konfigurace

Extrémy akčních integrálů

Předpokládejme soustavu n těles s centrem 0 a (n-1) oběžnicemi 1,2,..,n-1. Hledáme takové konfigurace těles, při kterých nabývá integrál akční funkce extrému. Podle hledaných parametrů určujících konfiguraci rozlišíme následující případy:

·   Polohy na dráze
Jsou dány dráhy všech těles, ale polohy na dráze jen u jednoho nebo několika vybraných těles. Hledají se vhodné polohy (fázové posuny) těles ostatních.

·   Vzdálenosti těles
Je dána dráha (vzdálenost od centra) jednoho nebo několika těles. Hledají se vhodné dráhy těles ostatních.

Při pohybu po eliptických drahách akční funkce kolísají v závislosti na aktuálních hodnotách r_ij. Místo hledání extrému průměrné akční funkce by pak mohlo dávat smysl např. hledat, za jakých okolností průměrná akční funkce nejméně kolísá.

Numerické integrování

Některé akční funkce je obtížné integrovat, nebo je integrál tak komplikovaný, že je těžké hledat jeho extrém. V takovém případě můžeme řešení odhadnout numericky (počítačovým programem).

Uvažujme např. 2 oběžnice pohybující se s oběžnými periodami T₁, T₂ po excentrických kružnicích se vzdáleností středů Dx₁₂ (Dy₁₂=0). Poloměry drah nechť ve vztahu k oběžným periodám respektují Keplerův 3.zákon, tj.: r³/T² = konst.

Pro daný počáteční fázový posun Fi₁₂ se počítá celková hodnota (integrál) sumF akční funkce f()=1/r₁₂ v průběhu časového intervalu Time.

        #define cDIVISION 100
        #define c23 0.66666666667
        float numIntg(float aTime, float aT1, float aT2, float aFi12, float
        aDx12) {
           int i;
           float sumF=0;
           float r1 = pow(aT1,c23);   /* Kepler */
           float r2 = pow(aT2,c23);   /* Kepler */
           float limit = aTime*cDIVISION;
           for (i=0;i<limit;i++) {
           float t = (float)i/cDIVISION;
           float angle1 = 2*pi*(t/aT1);
           float angle2 = 2*pi*(t/aT2+aFi12);
           float
        f1x=r1*cos(angle1);  float
        f1y=r1*sin(angle1);
           float
        f2x=r2*cos(angle2)+aDx12;  float f2y=r2*sin(angle2);
           float dx12 =
        fabs(f2x-f1x);  float dy12 = fabs(f2y-f1y);
           float r12 =
        sqrt(dx12*dx12+dy12*dy12);
           if (r12!=0)
            
        sumF=sumF+(1.0/r12);
             }
             return F;
        }

Numerickou integraci provedeme opakovaně pro různé hodnoty počátečního fázového posunu φ₁₂ a vyhledáme pro které φ₁₂ nastává extrém.

Dvě tělesa okolo centra

Funkce typu 1/r₁₂^k

Nechť F() = 1/(r₂^k-r₁^k) +1/r₁^k + 1/r₂ ^k, r₁!= Z rovnice dF()/dr₁ = k.r₁^k-1/(r₂^k -r₁ ^k)²- k/r₁^k+1 =0, dostáváme r1=r₂/2^1/k.
Např. pro r₂=100:

Funkce typu 1/r₁₂

Nechť F()=ln((r₁+r₂)/(r₁-r₂))/2/r₁ +1/r₁+ 1/r₂, r₁ Označme q=r₁/r₂. Pak (r₁+r₂)/(r₂-r₁)=(1+q)/(1-q) a ln((1+q)/(1-q))= 2 argtgh q.

Přepíšeme funkci na F()=(argtgh(r₁/r₂)+1)/r₁ + 1/r₂.

Z rovnice dF()/dr₁=0 plyne q/(1-q²)-argtgh(q)-1 = 0 (*).

Funkce argtgh(q)=q+q³/3+q⁵/5+...; v prvním přiblížení argtgh(q)=q a rovnice (*) přejde do tvaru q³+q²-1 = 0.

Numericky zjistíme, že funkce F() nabývá minima pro q≈0.7865; tj. pro r1=100 je r₂≈78.7.

Tři tělesa okolo centra

Funkce typu 1/r₁₂^k

Nechť F() = ∑∑ 1/(r_j ^k -r_i ^k) + ∑ 1/r_i^k, r₁<R₂. Numerické řešení, např. pro r₃=100:

Tyto hodnoty jsou bez ohledu na hmotnosti těles, tj. za předpokladu, že hmotnost centra je stejná jako hmotnost oběžnice.

Mějme nyní: F() = ∑∑ m_im_j/(r_j^k -r_i ^k) + ∑ m₀m_i/r_i^k. V případě m₀ = 10, m₁=m₂=m₃=1 dostáváme

Čím je větší hmotnost centra, tím jsou oběžnice tlačeny dále od centra, tj. jinými slovy, čím jsou oběžnice (relativně k centru) lehčí, tím se shlukují blíže k sobě.

Případ k=1

Nechť F() = 1/(r₂-r₁)+1/(r₃-r₂)+1/(r₃-r1)+1/r1+1/r₂+1/r₃, r1<r₂
Z rovnic
dF()/dr1 = 1/(r₂-r₁)²+1/(r₃-r₁)²-1/r₁² = 0,  dF()/dr2 = -1/(r₂-r₁)²+1/(r₃-r₂) ²-1/r₂² = 0
plyne:
1/(r₃-r₁) ² + 1/(r₃-r₂)² = 1/r₁² + 1/r₂². Rovnici vyhovuje r₁+r₂ = r₃. Označme q=r₁/r₂. Odtud musí platit (1-q²)(1-q) ² = q², tj. q⁴-2q³+q²+2q-1=0.

Numericky dostáváme řešení q=0.47 (tj.32/68, viz předchozí tabulku).

Nyní rovnice ještě zjednodušíme.
Předpokládejme, že má platit: [dF()/dr₁ =] 1/(r₂-r₁)+1/(r₃-r₁)-1/r₁ = 0,  [dF()/dr₂ =] -1/(r₂-r1)+1/(r₃-r₂)-1/r₂ = 0.
Odtud 1/(r₃-r₁) + 1/(r₃-r₂) = 1/r₁ + 1/r₂. Obdobně i zde rovnici vyhovuje r₁+r₂ = r3. Z první rovnice je 1/(r₂-r₁) = 1/r₁-1/r2, tj. r₁²-3r₁r₂+r₂². Při označení q=r₁/r₂: q²-3q+1=0. Odtud q=0.382 (=((√5-1)/2) ².

          0           1               2            3
          *- f(r1)---→*←-- f(r1,r2) --* 
                      *←----------- f(r1,r3) ------+

          0            1              2             3
          *            *---f(r1,r2)--→*←--f(r2,r3)--* 
          *------------- f(r2)-------→*