Konfigurace planet

Harmonie sfér

Svůj objev – že zvuky, jejichž frekvence jsou v poměru malých celých čísel vytváří konsonantní (libozvučná) souznění – považoval Pýthagorás za tak zásadní, že si troufl jej zobecnit na pohyby v celém kosmu .

Podle Pýthagora vytváří pohyb planet souznění – “harmonii sfér”, zvuk této kosmické harmonie ale neslyšíme, protože jsme mu již od narození přivykli…

První, komu se podařilo posunout Pýthagorovu představu o kousek dál byl Johannes Kepler. J.Kepler zkoumal poměry vzdáleností planet od Slunce (sférám oběhu planet se pokusil vepsat a opsat některá pravidelná tělesa) a poměry rychlostí planet. Věřil, že každé planetární sféře přísluší jeden tón stupnice.

J.Kepler nakonec našel určité poměry blízké celočíselným v poměrech rychlostí planet v přísluní a odsluní. Rychlosti planet v přísluní a odsluní však závisí na excetricitě (výstřednosti) eliptické dráhy planety a ta se v čase mění. Např. planeta Merkur má dnes excentricitu cca 0.206, její hodnota ale může kolísat přibližně v mezích 0.121-0.232 (a obdobně kolísá také sklon dráhy). Je nepravděpodobné, že by mohly existovat celočíselné poměry mezi veličinami, které se v čase proměňují  (při absenci přímé závislosti těchto změn,…).

Titiovo pravidlo

Keplerovy komplikované mnohostěny nahradil (r.1766) J.D.Titius jednoduchým pravidlem - velikost velké polosy (a) vyjádřil jako exponenciální funkci pořadového čísla planety (k):

 a ≈ 0.4+0.3*2^k [AU] 

Pro k=0,1,2,4,5 dává Titiův vzorec přibližné vzdálenosti Venuše, Země, Marsu, Jupitera a Saturna od Slunce.

Po publikování J.E.Bodem  (r.1772) v populární astronomické knize se pravidlo stalo známým jako Bodeho zákon. Po objevu Uranu (r.1781) na dráze odpovídající k=6 se soustředila pozornost astronomů na dráhu s k=3 v pásmu mezi Marsem a Jupiterem, kde byla (r.1801) objevena planetka Ceres a posléze i několik dalších menších těles – planetek (asteroidů).

Původní Titiův návrh počítal také se vzdáleností 0.4 AU pro Merkur, v takovém případě však (jak ukázal Charlier)  uvedená řada není geometrická, resp. pro Merkur vychází k=-∞.

Pro k=-1,-2,… mezi Merkurem a Venuší nebylo žádné těleso nalezeno a tedy pro Merkur Titiova řada selhává.

S.F.Dermott (r.1973) ukázal, že soubor náhodně generovaných period je za určitých podmínek možné pokrýt obdobným pravidlem jako je Titiovo a zpochybnil tak, že by dráhy planet byly na logaritmické stupnici nenáhodné.

Pokusy o zobecnění

Mary A.Blagg  (1913)  se pokusila výpočty založenými na vztahu

 a ≈ c₁+ c₂ z^k  [AU] 

pokrýt nejen systém planet ale i satelitní systémy Jupitera, Saturnu a Uranu.

Ve snaze o co nejlepší pokrytí známých dat pro hodnotu c₁ stanovila komplikovaný výpočet (obsahující goniometrické funkce,…)

A.Mohorovičič (1938) upravil Titiovo pravidlo na tvar:

 a ≈3.363± 3.363*0.88638^k [AU] 

čímž se pokusil postihnout i některé známé planetky a komety. Mohorovičič stanovil několik základních podmínek, které by správný vztah měl mít, např. měl by pokrývat i Slunce a stabilní dráhy planetek a komet (tělesa s proměnlivou dráhou nemusí vztah pokrývat,…).

Podle Mohorovičičova pravidla je největší výskyt těles ve vzdálenosti cca 3.363 AU, tj. v pásmu planetek a na obě strany z tohoto místa počet sfér klesá. Pro vnitřní systém planet (do kterého se mezi Mars včleňují planetky Hermes a Eros) a pro planetky mezi Marsem a Jupiterem tak vychází Mohorovičičův návrh v celku přijatelně, pro vnější planety však vznikají sféry s čísly 5 (Jupiter), -5 (Saturn), -13 (Uran) a -17 (Neptun),…

Výsledkem snah M.A.Blagg i Mohorovičových snah je poměrně rozsáhlý soubor drah, který ale nepokrývá celou rozmanitost Sluneční soustavy.

Pokusy o exaktní řešení

Podle V.Gutha a F.Linky (1947) není možné, aby pravidelnost odstupů planet i řady měsíců  byla náhodná. Vzdálenosti vyplývají ze vzájemného gravitačního působení ústředního tělesa a těles kolem něho obíhajících. Vnitřní souhra gravitačních sil působí, že se vzdálenosti těles po určitém čase ustálí v hodnotách popsatelných nějakým matematickým vztahem.

M.W.Ovenden (r.1972) naznačil možnost vysvětlení Bodeho zákona dynamicky – sousední planety nemohou být příliš blízko. Jak mají být planety minimálně daleko může záviset na jejich hmotnostech  (čímž by se vysvětlily i pozorované rozdíly vzdáleností menších vnitřních planet a větších vnější planet).

Uspořádání těles

Tělesa v soustavách jsou buď rovnocenná, např. dvojhvězdy (jako kovalentní vazba v chemii,...) nebo je některé z těles výraznější (hmotnější) a určuje chování jiných těles (iontová vazba,...).

Sluneční soustava je soustava s výrazným centrálním tělesem Sluncem a několika podružnými centry.

Typy uspořádání

Podle postavení menšího tělesa vzhledem k většímu (a centrálnímu) tělesu rozlišíme dva typy uspořádání:

                                Centrální - Menší - Větší
      +----+
      |    |       +---+
      |    |  +-+  |   |
      +----+  +-+  +---+
·   Slunce - Merkur - Venuše - Země - Jupiter
·   Jupiter - Io - Europa - Ganymed
·   Saturn - Mimas - Enceladus - Tethys - Dione - Rhea - Titan
·    Uran - Miranda - Ariel - Titan
·    Země – umělé satelity -Měsíc 

                            Centrální - Větší - Menší
      +----+
      |    |  +---+
      |    |  |   |   +-+
      +----+  +---+   +-+
·   Slunce - Jupiter- Saturn - Neptun - Pluto
·   Jupiter - Ganymed- Kallisto
·   Saturn - Titan - Japetus
·   Uranus - Titania- Oberon
·    Mars - Phobos - Deimos 

Výjimkami z těchto schémat jsou:

• tělesa na téže dráze, např. Slunce-Trojané/Jupiter,  Saturn-Helene/Dione
• tělesa přiblišně stejné velikosti např. Slunce-Venuše/Země

Tělesa podle ovlivnění

V závislosti na vzdálenosti od svého centra a vzdálenosti od centra nadřazené soustavy

bývají rozlišovány následující případy:

• Tělesa blízká centru (Mars: Phobos, Deimos, Jupiter: nejbližší měsíce)
• Tělesa rušená jinými tělesy (Laplaceova resonance,…)
• Tělesa rušená centrem soustavy (vzdálené měsíce Jupitera,…)

Symetrie pohybu

Pohyb geometrických os

Geometrická osa

Uvažujme pohyb dvou těles P,Q okolo centra S a pohyb myšlené (geometrické, neorientované) osy úhlu PSQ. V okamžiku konjunkce planet P-Q splývá osa s přímkami S-P i S-Q. Za čas t urazí první přímka úhel t/P (∙360°) a druhá t/Q (∙360°).
Osa těchto přímek po čase t svírá s výchozí přímkou úhel:
t/Q+(t/P-t/Q)/2 = t/Q+t/(2P)-t/(2Q) = t ∙(1/(2P)+1/(2Q)) (∙360°).

Osová perioda dvou těles

Osová perioda je perioda po které osa úhlu P-S-Q splyne se svojí původní polohou. Osová perioda dvou orbitálních period P, Q je perioda:

 [P,Q] = 2/(1/P+1/Q)= 2∙P∙Q/(Q+P) 

Osovou periodu značíme hranatými závorkami. Za čas [P,Q] proběhne osa plný úhel 360°. 

Pro libovolné periody A,B,C a konstantu k platí:

Při uvažování dvojice planet P,Q a Slunce (Sun) je těžiště vždy někde uvnitř trojúhelníka  SunPQ. Zanedbáme-li rozdíly v hmotnostech či působení obou planet, můžeme předpokládat, že se těžiště pohybuje v souladu s osou úhlu PsunQ, tj. s periodou [P,Q].

Osová perioda více těles

Osová perioda n těles s periodami P,Q,R,S... je určena harmonickým průměrem daných period:

 [P,Q,R,S,...] = n/(1/P+1/Q+1/R+1/S...) 

    [J,S]= 16.91324 let ( 6177.56 dní)
    [J,U]= 20.78898 let ( 7593.18 dní)
    [J,N]= 22.13075 let ( 8083.26 dní)
    [S,U]= 43.62101 let (15932.57 dní)
    [S,N]= 49.97918 let (18254.89 dní)
    [U,N]=111.29089 let (40649.00 dní)

    [M,V]=0.346170 let (126.4385 dní)
    [M,E]=0.388199 let (141.7896 dní)
    [M,R]=0.427013 let (155.9666 dní)
    [V,E]=0.761766 let (278.2351 dní)
    [V,R]=0.927141 let (338.6381 dní)
    [E,R]=1.305775 let (476.9343 dní)

Symetrické konfigurace

Konfigurace více těles je osově symetrická, když dojde ke ztotožnění jistých os pohybu v jednu jedinou. V případě sudého počtu těles nastává taková situace tehdy, když se vyrovnají všechny osy zvolených párů těles. K vyrovnání dvou os může dojít v úhlu 0° nebo 180°, tedy perioda zákrytu činí polovinu synodické periody počítané z period těchto os.

    Datum    (Odstup) Matem.datum
    -------------------------------------
    2014 Jun 10 AD  ( 9.69)  2014.45     JS-UN   
    2024 Aug 30 AD  (10.22)  2024.67   
    2034 Jul 20 AD  ( 9.89)  2034.56
    2044 Aug 31 AD  (10.12)  2044.67
    -------------------------------------
    2018 May  6 AD  (18.56)  2018.35     JU-SN
    2036 Feb 23 AD  (17.80)  2036.15
    ------------------------------------- 
    2023 May 29 AD  (22.08)  2023.41     JN-SU
    2046 Jul 13 AD  (23.12)  2046.54

Mayská perioda tzolkin (z)  v symetrických konfiguracích (jako kvantum):

Symetrické konfigurace	Mayská perioda (násobek tzolkin)	Poznámka
([J,S],[U,N]) = 19.944 let= 7284.6 dní	7280 dní = 28*z= 20*364 dní = 260*28 dní (260 přirozených měsíců) 7280 dní = 21*346.67 dní (cca 21 ekliptických let)	(J,S)= 7253.5 dní= 19.86 let
([J,U],[S,N]) = 35.594 let= 13001 dní	13000 dní=50*z= 35.59 let 12997.8 dní =3*J = 35.59 let	(S,N)= 13101.5 dní = 35.87 let.

Pohyb os vnitřních planet měřený k pohybu osy [J,S] dává periody (n² násobky kvanta q=16.2 dní):

([M,V], [J,S]) = ( 63.219, 3089.0) = 64.540 d  (2²*q) ([V,E], [J,S]) = (139.118, 3089.0) = 145.679 d (3²*q) ([E,R], [J,S]) = (238.470, 3089.0) = 258.420 d   (4²*q)  ~ tzolkin.

Perioda (V,E)= 583.92 d   (6²*q).

Inverzní pohyb

Periodická symetrie

Mějme přímku r pohybující se s periodou R okolo centra. Vzhledem k přímce r se tělesa P a Q pohybují inverzně (protipohybem) tehdy, když r je orientovaná osa pohybu těchto dvou těles, tj. když R=[P,Q].

Tělesa rozevírají a pak přivírají úhel vzhledem k r se synodickou periodou (P,Q).

Představme si nyní, že není nutnou podmínkou, aby tento pohyb probíhal spojitě. Nechť je podmínka inverze splněna ve všech okamžicích t = k∙T, kde k je celé číslo a T nějaká perioda. V těchto okamžicích t musí platit:

 Lp - Lr = Lr - Lq 

kde Lp,Lq a Lr jsou úhlové délky těles P,Q a Lr je úhlová délka přímky r. Tedy
frac(T/P)-frac(T/R) = frac(T/R)-frac(T/Q), tj. 2∙frac(T/R) = frac(T/P)+frac(T/Q)

Těžišťové periody

Dvě tělesa (dvojvězdy) obíhají kolem společného těžiště se stejnou periodou. 
V případě více těles se situace komplikuje. 

Při oběhu 2 planet okolo Slunce leží těžiště (zanedbáme-li rozdíl v hmotnostech planet) vždy přibližně na geometrické ose spojnic těchto těles - viz osová perioda. S osovou periodou se ale pohybuje těžiště pouze v blízkosti konjuncí planet. 

Při opozici planet dochází k "singularitám". V okamžiku singularity se fyzikálně neděje nic zvláštního - překmitne orientace osy. Pohyb těžišťových os tímto připomíná spíše vlnové chování atomu, než jednoduchý cyklický pohyb s pevnou periodou.

Nepravidelný pohyb os

Úhlová rychlost pohybu těžiště kolísá, pohyb reálných orientovaných těžišťových os je nepravidelný. 

V okamžiku opozice dojde k "přepólování" - tj. k náhlé změně směru osy. Pohyb těžišťové osy se zpomalí a pak se změní směr od cetrálního tělesa k těžišti o 180º. Tyto „singularity“  ztěžují výpočet průměrné periody pohybu orientovaných os.

Výpočet "okamžitých period" v konjunkcích

dx = dx₁m₁+dx₂m₂ / (m₁+m₂), kde dx_i = a_i cos dϕ_i, dy_i = a_i sin dϕ_i, dϕ_i = dt/P_i

Např. pro Jupiter (J) a Saturn (S), dt=1 rok (po konjunkci J-S), a_J=5.202 AU, aS = 9.535 AU.
dϕJ = dt/P_J = 30.35°
dx_J = 5.202 * cos(30.35°) = 4.489 AU   dy_J = 5.202 * sin(30.35°) = 2.628 AU
dϕ_S = dt/P_S = 12.22°
dx_S = 9.535 * cos(12.22°) = 9.319 AU   dy_S = 9.535 * sin(12.22°) = 2.018 AU

Σ mi dxi = 317.83*dx_J + 95.16*dx_S = 317.83*4.489 + 95.16*9.319 =  2313.5 [Mzeme*AU]
dxi = 5.60 AU
Σ mi dy_i = 317.83*dy_J + 95.16*dy_S = 317.83*2.628 + 95.16*2.018 =  1027.3 [Mzeme*AU]
dy_i = 2.49 AU

tg(dϕ) = dy_i / dx_i = 2.49 / 5.60 = 0.4446
dϕ = 23.94°
PJS = 1 rok * 360°/23.94° = 15.03 let

    [J,S]= 16.91 let
    [J,U]= 20.79 let
    [J,N]= 22.13 let [J,S,U,N]= 29.36 let
    [S,U]= 43.62 let
    [S,N]= 49.98 let
    [U,N]=111.29 let

    [J,S]= 15.03 let
    [J,U]= 13.49 let
    [J,N]= 15.16 let [J,S,U,N]= 19.03 let
    [S,U]= 34.73 let
    [S,N]= 41.94 let
    [U,N]=123.27 let

Průměrná perioda těžišťové osy počítané v okamžiku, kdy tělesa leží na jedné polopřímce (tj. jsou v konjunkci) se liší od průměrných period počítaných v jiných výchozích pozicích. Z elementárních úhlových posunů  vychází např. perioda cca 15 let  v konjunkci J-S,  a cca 14 let při kvadratuře J-S.

Reálnou osovou periodu určuje těžší z těles. V okamžiku opozice těles směřuje těžišťová osa k těžšímu z těles. I v okamžiku konjunce tímto tělesem prochází. Tedy reálná těžišťová osa kopíruje - byť nerovnoměrným pohybem - pohyb těžší ze dvou planet.

Minimální interakce

Tělesa pohybující se v soustavách udržovaných gravitační přitažlivostí, paradoxně projevují jakousi "odpudivost". Soustavy se brání kumulaci hmoty na jednom místě. Při delším vzájemném ovlivňování prochází soustava určitým vývojem. Tělesa se nakonec synchronizují a zaujmou jistou optimální a stabilní konfiguraci. Tato konfigurace může -v případě protínajících se drah- vyloučit srážky těles (např. v pohybu planet Neptun a Pluto).

Odpuzování těles

Gravitační přitažlivost těles má jeden poněkud paradoxní důsledek. Tělesa na drahách (kolem centrálního tělesa) se vzájemně odpuzují. Tento jev je důsledkem zákona zachování momentu hybnosti (Alfven).
(Elekrony na drahách se také vzájemně odpuzují. Mají stejný náboj...)

Princip minimální interakce

Po dlouhodobém vzájemném ovlivňování zaujmou tělesa jistou optimální konfiguraci a pohybují se tak, že jistá (sumární) charakteristika nabývá extrému.
(Podle A.M.Molčanova může k takové synchronizaci dojít i při působení velmi slabých sil.)

Pro některé subsystémy Sluneční soustavy (Io-Europa-Ganymed, měsíce Uranu) byla dokázána platnost Ovendenova principu (t.j. variační princip nebeské mechaniky) [Ovenden,1974]. Pro vnější planety Ovendenův princip selhává.

·   Ovenden,1974: Ovenden, M.W., Feagin, T., and Graf, O., "On the Principle of Least Interaction Action and the Laplacean Satellites of Jupiter and Uranus," Celestial Mechanics Journal, 8(4), 455-471 (1974).

Představa principu minimální interakce:

1/ libovolně rozhozená tělesa (rozuměno tělesa na náhodných drahách) se synchronizují (upravují vzájemně fázové posuny na drahách) tak,aby (dlouhodobě) součet jejich interakcí - které jsou nějakou funkcí jejich reálné (nebo úhlové) vzdálenosti a hmotností - byl minimální.

2/ původně náhodné dráhy se (při zachování celkové energie soustavy..) modifikují, aby se ještě dále minimalizovala celková interakce (a na nových drahách se opět upraví fázové posuny podle 1/)

Podle 1/ se chovají Galileovy měsíce, P

Podle 2/  např. poloha Venuše a Země mezi Sluncem a Jupiterem musela postupně upravit nějak tak, aby byla nějaká charakteristika vyvážená?!

Planety v rozestupu

Pozoruhodná konfigurace

Z pohledu minimální interakce - konfigurace planet v období 18.8.2003-31.8.2003 je zajímavá.

Označme V-Venuše, E-Země, R-Mars, J-Jupiter, U-Uran a pozorujme heliocentrické konjunkce a opozice:

Zdá se, jakoby se při této konfiguraci maximalizovaly vzdálenosti:  J-U, J-E, J-R, E-V, R-V, (U-V) ,R-Měsíc.

V okamžiku dlouhodobě největšího přiblížení Marsu k Zemi se sousedící (konkurenční) tělesa Jupiter a Venuše ocitla na opačné straně Sluneční soustavy

V dalším textu vycházíme z opozic planet J-U,  r.2003, přesná opozice J-U následovala až 31.10.2003.

Obdobné konfigurace

Některé další obdobné konfigurace najdeme např. v letech 719.29, 1147.48, 1575.66,  tj. s přibližně Babylónsko periodou vzhledem k 2003.84: 31*(J,U) = 31*13.8123 let=428.18 let.

    12.4.719

    16.6.1147

    17.08.1575

Perioda 12J

719 - 862 - 1004,

1147 -1290 - 1433,

1575 - 1718 - 1861,